Распределение дробных частей значений многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов

• Автор: Озодбекова, Наджмия Бекназаровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 70 с.

Оглавление
Обозначения
Введение
1 Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля
1.1 Формулировка результатов
1.2 Вспомогательные утверждения
1.3 Оценки коротких тригонометрических сумм Г.Вейля, если величина пхп~1 очень близка к целому числу
1.4 Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля, если величина пАхп_1 не очень близка к целому числу
1.5 Оценки коротких тригонометрических сумм Г.Вейля, у которых старший коэффициент не очень “близок” к рациональному числу
2 Распределение дробных частей значений многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов
2.1. Известные леммы
2.2. Сведения о распределении дробных частей значений многочлена,
аргумент которого принимает значения из коротких интервалов, к оценке коротких тригонометрических сумм
2.3. Распределение дробных частей квадратичного многочлена, аргу-
мент которого принимает значения из коротких интервалов
Литература

Обозначения
е(а) = е2кга = cos27ra + г sin 27га.
При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются тремя индексами: номер
главы, номер параграфа, номер утверждения.
с, с і, С2, , -положительные постоянные, не всегда одни, и те же.
£-положительные сколь угодно малые постоянные.
т(п) - число делителей числа п.
[х] - целая часть числа х.
{х} - дробная часть числа х.
||х|| = min ({х},1 - {х}) - расстояние до ближайшего целого числа.
(а, Ь) - наибольший общий делитель чисел а и Ь.
Запись А <§; В или А = О(В) означает, что существует с > 0 такое, что А < сВ.

Введение
Основным предметом исследования настоящей диссертации являются изучение поведения тригонометрических сумм Г.Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из интервала малой длины, а также их применения к задаче распределения дробных частей значений многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов
Тригонометрической суммой называется конечная сумма 5 вида
где х2, , хг) — вещественная функция от г переменных и суммирование
ведется по целым точкам (х1, х2, , хг) некоторой области П п - мерного пространства, г2 = — 1. Тригонометрическими суммами называют и более общие суммы 5' вида
где С(х 1,Х2
Основной проблемой при изучении сумм 5 является проблема установления верхней границы модуля 5. Обозначим через Т количество целых точек области О. Так как модуль каждого слагаемого суммы (1) равен 1, то для |5|

5" = С(хьх2

Оценка Я о - Полагая /г = 0 в правой части неравенства (1.3.7) , имеем {?гЛхп_1} — - — г] < /д(и, Ь) < {тгАх"-1} — -. из правой части этого неравенства находим
2 1о(и,Ь) = -/о(и,Ь) >
Пользуясь этим неравенством для |/д(и, Ь)|, оценим интеграл /(О, Ь) воспользовавшись леммой 1.3 по величине модуля производной первого порядка. Имеем
е(/о (и,Ь))йи
(с—у

Следовательно, ввиду (1.3.5), найдем

|5б(а,д)|
д с—'
4 6=1 ь
Пользуясь для суммы 5(о, (?) оценкой Хуа Ло-гена (лемма 1.2), аналогично как в случае оценки Я1 найдем
,*+2е
Яо -С д*
(1.3.10)
Теорема доказана.
Следствие 1.1.1. Пусть т > 2п{п — )хп 2у, |А| < , тогда имеет
место соотношение
Т(а, х, у) = Я(а, д)7(А; х, у) + 0(д1/2+е),

7(А;х,у)= / е(л(ж-| + у )