Абсолютно чистые и простые по чистоте модули

• Автор: Корнев, Александр Иванович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 67 с.

Содержание

1 ВВЕДЕНИЕ И НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Введение

1.2 Необходимые сведения

2 АБСОЛЮТНО ЧИСТЫЕ МОДУЛИ

2.1 Абсолютно чистые многообразия модулей

2.2 Коммутативные кольца, над которыми всякий абсо-

лютно чистый модуль является классически полупро-стым

2.3 Всюду чистые модули

3 ПРОСТЫЕ ПО ЧИСТОТЕ МОДУЛИ

3.1 Редуцированные многообразия модулей над коммутативными кольцами

3.2 Простые по чистоте модули редуцированных многообразий модулей над коммутативными кольцами
3.3 Минимальные полные модули
ЛИТЕРАТУРА

1 ВВЕДЕНИЕ И НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ
1.1 Введение
Одними из важнейших понятий теории абелевых групп являются понятия сервантности и слабой сервантности. В связи с развитием теории модулей в 60-70-х гг. прошлого столетия предпринимались многочисленные попытки приспособить к ней эти понятия. При этом все более отдавалось предпочтение термину ’’чистота”, который, наряду с термином ’’сервантность”, употреблялся и для абелевых групп. Появились различные способы определения чистоты для модулей, что привело к необходимости выработки аксиоматического подхода к этому понятию. Это было реализовано в книге Л.П.Мишиной и Л.А.Скорнякова [17] в 1969 году, а именно дано аксиоматическое определение сс-чистоты для произвольных модулей. В этой же книге начато систематическое изучение этого понятия, которое было продолжено в многочисленных работах других авторов. При этом изучались как общие свойства иьчистоты, так и некоторые ее важные частные случаи.
Наиболее естественными обобщениями групповой сервантности и слабой сервантности для модулей являются понятия 5-чистоты [17, с. 59] и 5-чистоты [17, с. 68], введенные Марандой [38, 39], где 5 — множество левых идеалов кольца. Наибольшим вниманием в дальнейшем пользовалась 5-чистота, которая к настоящему времени довольно хорошо изучена. Наименее изученной оказалась 5-чистота. Отметим, что Басс [23] установил связь между 5-чистотой и замкнутостью подмодуля. Из одного результата Нунке [41] можно вывести, что в случае модулей над дедекиндовым кольцом 5-чистота

проективно замкнута, [17, с. 69]. В той же работе для дедекиндовых колец установлены некоторые свойства, эквивалентные 5-чистоте. Некоторые свойства чистых в этом смысле подмодулей свободных модулей и проективных конечно порожденных модулей над коммутативными кольцами изучали Вессер в [24], Бессер и Микали в [25]. В работах Бицана [27,28] и Л.М.Мартынова [И] для примарных (М-лоевых) модулей изучалась 5-чистота, для случая, когда 5 — множество всех натуральных степеней максимального идеала кольца (т.е. аналог групповой сервантности).
Иной подход, использующий теорию многообразий групп, к понятию чистоты, а также к другим важным понятиям теории абелевых групп (полноты (делимости), редуцированности, периодичности, примарности и др.) осуществил Л.М.Мартынов. Это позволило ему определить их аналоги для произвольных универсальных алгебр [40, 16]. Используя теорию многообразий модулей, легко показать, что определенная в [40,16] (атомная) чистота в случае модулей совпадает с 5-чистотой, где 5 — множество всех максимальных идеалов кольца (т.е. является аналогом слабой сервантности для групп). Последняя же для модулей практически не изучалась. С точки зрения общего методологического подхода к развитию структурной теории алгебр, сформулированного в работе [16], который в полной мере может быть реализован для модулей, наиболее естественной и актуальной задачей является изучение именно этой чистоты. Это обстоятельство, на наш взгляд, можно объяснить тем, что в случае абелевых групп изучение понятия сервантности тесно связано с изучением других важных понятий, таких как минимальная полнота, редуцированность, периодичность и примарность, определения которых используют понятие простого числа. В случае модулей еще не

является примарпым подмодулем в А, Пусть а — элемент модуля А. Покажем, что а Е Еш Д;. Из того, что А является периодическим модулем вытекает существование максимальных идеалов АД,, ЛД2... Mik со свойством МЦ МЦ... МЦ а - 0. Если к = 1, то a. Е Дц. Иначе, при I Ф s будет Мц ф Af,-s для любых / и s, не превосходящих Но из первичности максимальных идеалов следует, что МЦ + Ml1 Ml2... МЦЦМЦЦ' ... М.Ц = R для каждого г, 1 < г < к.
Ът 7*1 12 'Т — 1 br-fl 1/с ;
Поэтому для любого г, не превосходящего к, найдется элемент m,-r такой, что rnj -1 € и ш,- € МТ МЦ... МЦЦ МЦ+г... МЦ. Оче-
7 h ^ lT h v~ ij 12 *т-1 гг+
видно, что МЦтп^а = 0. Значит, m!r о (Е Bh. Далее, -
МЦМЦ...МЦ и, следовательно, (Е^=1то,'г)а = а = Ef=1 пцта, т.е. а, Е Eie/ Bi и А = Eie-j Д.- Покажем, что эта сумма прямая. Пусть & 6 Д„ П Ejyin Д?> ГДе Д{0 г Bj. Тогда для некоторого целого неотрицательного щ выполняется МЦЬ = 0, и для некоторых целых неотрицательных Hi,n2,... ,пг будет МЦМЦ ... МЦb = 0. Но тогда,, так как МЦ + МЦМЦ ... МЦ = Д, то 6 = 0. Значит А = Ф,-6;Д,-. □
Лемма 2.2.3. АР-модулъ А под коммутативным кольцом R! является классически полупростым тогда и т.олько тогда, когда он является периодическим.
Доказательство. Пусть А есть полунростой АР-модуль. Тогда существуют простые модули Bi такие, что для любого i найдется максимальный идеал Mi кольца R, что М;В{ - 0 и А = Фге/Д;. Пусть а — элемент модуля А. Значит, а = E3U Рч, Рц £ Дц и А4рц = 0. Следовательно, АД-, ЛД2... М1п а = 0 и А является периодическим модулем.
Пусть А есть периодический АР-модуль. Из предложения 2.2.2 следует, ЧТО А = фге/Дг, где Bi является примарпым модулем для всех i из /. Но учитывая, что А есть АР-модуль, применив лемму