О некоторых свойствах обобщенных полилогарифмов и кратных дзета-значений

• Автор: Уланский, Евгений Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 83 с.

1 Введение
1.1 Дзета-функция Римана и ее обобщения
1.2 Интегральные обобщения полилогарифмов
1.3 Результаты диссертации
2 Преобразования аргумента полилогарифмов

2.1 Преобразование

2.2 Преобразование 1 — г
2.3 Линейная независимость обобщенных
полилогарифмов
2.4 Алгебраическая независимость
классических полилогарифмов
3 Интегральные обобщения полилогарифмов
3.1 Построение интегральных обобщений
3.2 Связь между 1Л*(;г) и ЬеДг)

Оглавление з
3.3 Стаффл-произведение для лолилогарифмов
3.4 Преобразование

3.5 Вывод теорем 2.1.1 и 2.1.2 из теоремы 3.4
4 Линейная независимость значений функции Лерха
4.1 Определение функции Лерха
4.2 Построение и оценка модуля
линейных форм
4.3 Оценка коэффициентов линейных форм и их знаменателей ,
4.4 Теорема о линейной независимости
значений функции Лерха
Литература

Глава
1.1 Дзета-функция Римана и ее обобщения
Дзета-функция Римана Дв) при комплексном я с условием 11е (з) > 1 задается рядом
00 1 71
Одна из проблем теории трансцендентных чисел состоит в том, чтобы изучить арифметические свойства значений дзета-функции Римана в целых точках в >2, т.е. выяснить, являются эти числа рациональными или иррациональными, алгебраическими или трансцендентными, а также найти все алгебраические соотношения между ними.
Еще Эйлер показал, что в четных точках дзета-функцию можно вычислить явно:
г(п, ( ип-Л^?пп С(2п)-( 1) 2(2п)!

3.3 Стаффл-произведение для полилогарифмов

ется следующим образом
Ч/^2-2/5*(21 ^) = ЬЦг) = Ы([а/;г]) = £
_«1 П2 П*
г1 2 "к
П1>П2>...>Пк^1
Положив 1л0(0) = 1, это определение можно распространить по линейности и па множество У. При этом нужно понимать, что каждому слову из линейной комбинации о е У соответствует кратный аргумент обобщенного полилогарифма и кратность аргумента равна длине этого слова.
Операция стаффл-произведения определяется следующими правилами
2.) иу;1 * = (и* у)у{+1 + (и * ууг)у] + (год * у)Уг ,
где и,ь € Ххх. Нетрудно заметить, что и * у € У. При этом, если и, у € х0Хх, то и * у £ У*.
Зададим отображение С •' У* —> К правилами
На все множество У* отображение распространяется по линейности. Теорема 3.3.1. Справедливо равенство
Это означает, что произведение кратных дзета-значений может быть представлено в виде линейной комбинации некоторых других кратных дзета-значений с рациональными коэффициентами.
1-)
и*0 = 0*и = и:
1.) С(0) -1;
2-) С(2/«1 • • • Увк) = С(5Ъ • • •) $к) ■
с {и* у) = С(и)-С(у).