Категории модулей : Некоторые аддитивные функторы и двойственность

• Автор: Звягина, Марина Берговна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 88 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
Глава 1. Локальная двойственность
§ 1. Основные определения и простейшие леммы
§2. Г-рефлексивность для инъективных и, в частности, инъективных кообразующих дУ
§3. Общая теорема о существовании локальной двойственности
§ 4. Модули над локальными и полулокальными кольцами
§5. Общий случай нетерова коммутативного кольца
§6. Области главных идеалов. Нетеровы факториальные области
§ 7. Абелевы группы. Двойственность Понтрягина
Глава 2. Непрерывные функторы
§ 1. Классификация непрерывных функторов .одного аргумента
§2. Функторы, непрерывные справа
§3. Ковариантные функторы, непрерывные слева: формулировка и начало доказательства теоремы о представимости
§4. Ковариантные функторы, непрерывные слева: ключевые леммы и завершение доказательства теоремы о представимости
§5. Непрерывные слева контравариантные функторы
§6. Характеризация непрерывных функторов нескольких аргументов 55 § 7. Переформулировка полученных результатов на языке категорий функторов
Глава 3. Глобальная двойственность
§1. дУ-мультиструктурированные абелевы группы
§2. Теорема о представимости дУ-мультиструктуры
§3. Основной результат двойственности
§ 4. Замена топологической структуры алгебраической
§5. Рациональный остов и пополнение

§6. Эффективный способ построения множества с алгебраической структурой, эквивалентной структуре компактной абелевой группы
Г лава 4. О восстановлении функторов по их производным
§ 1. Строго гибкие слева кольца. Базисные функторы
§2. Правые кольца Оре и правые кольца Голди
§ 3. Делимость и свобода от деления
§4. Левая гибкость полупервичных правых колец Голди
§ 5. Необязательность условий полупервичности и голдиевости для гибкости кольца: примеры
§6. Обобщение результата о полупервичных правых кольцах Голди 76 § 7. Задача единственности: постановка и контрпример
§8. Теорема единственности для представимых функторов
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Вопросы, связанные с двойственностями и эквивалентностями для категорий модулей, а также с непрерывными функторами на этих категориях, интересуют математиков достаточно давно. Общая теория эквивалентностей и двойственностей для абстрактных категорий разработана в 1945 г. С.Эйленбергом (S.Eilenberg) и С.Маклейном (S.Mac Lane) — в той самой публикации [45], где впервые определяются понятия категории и функтора. К.Морита (K.Morita) обстоятельно изучает специальные виды двойственности и эквивалентности для категорий модулей в [54] (1958). Среди прочих результатов, полученных в этом фундаментальном труде, отметим следующие:
(1) Пусть А тл В - ассоциативные кольца с единицами, ЯЛ, Шв — категории левых унитарных И-модулей и правых унитарных Д-модулей; записи дХ и Уд означают левый унитарный Д-модуль X и правый унитарный Д-модуль Y соответственно. Рассматриваются полные подкатегории д9Л и Шд, содержащие соответственно а А и Дд и такие, что всякий модуль дХ (соотв. Уд), изоморфный некоторому объекту первой (второй) подкатегории, сам является объектом этой категории. Установлено, что любая двойственность между такими подкатегориями эквивалентна паре функторов Нотд( ,Д) и Нотд( , Д), где aUb — некоторый бимодуль.
(2) Найдено необходимое и достаточное условие для того, чтобы дДв индуцировал Д-двойственность (т.е. функторы Нотд( , Д) и Нотд( , U) определяли бы двойственность) между более специальными подкатегориями д9Л и ЯЛд. Именно, такие подкатегории дополнительно к требованиям, наложенным в (1), должны иметь в качестве классов объектов классы Серра (т.е. такие классы, что для всякой точной последовательности модулей 0 —> X' — X —> X" —> О X является объектом данного класса в том и только в том случае, когда таковы X' и,Х"). Условие состоит в том, что U является инъективным кообразующим как в д9Л, так и в 9Лд, и при этом В ~ Еп<1дД, А ~ ЕпбдД.
(3) В случае артиновых (слева и справа соответственно) колец А и В для

Предложение 1.5.3. Пусть Л = ДЛа — прямое произведение полных ло-

кальных колец Ла (при бесконечном множестве индексов о Л не нетерово!). Тогда категория нетеровых Л-модулей двойственна категории артиновых Л-модулей.
Следствие 1. Для нетерова коммутативного Л категория артиновых Л-модулей эквивалентна категории артиновых Г(Л)-модулей.
Следствие 2 ([54], гл.23). Пусть Л — артиново коммутативное кольцо. Тогда категория конечнопорожденных Л-модулей автодуальна.
Доказательство. Всякое артиново коммутативное кольцо изоморфно конечному прямому произведению локальных артиновых колец (см.[4], с.322), Л ~ причем локальные кольца Лт в силу их артиновости являются
полными (из тп"Лт = 0 следует Лт = Нт(Лт/шгЛт) = Лт). Поэтому согласно предложению 1.5.3 категория нетеровых Л-модулей двойственна категории артиновых Л-модулей. Учитывая, что для артинова кольца Л категории нетеровых и артиновых Л-модулей совпадают с категорией конечнопорожденных Л-модулей, получим требуемую автодуальность. (Можно было бы также сослаться на автодуальность категории Л-модулей конечной длины, заметив, что и эта категория в случае артинова Л совпадает с категорией конечнопорожденных Л-модулей).
Наконец, последний наш результат — о ’’двойном централизаторе”:
Предложение 1.5.4. дЛ — У0''ИхЛ/"-рефлексивный модуль (А'" — множество натуральных чисел).
Доказательство. Предложение 1.4.4 дает нам мономорфизмы А,п —> сочетая эти мономорфизмы с естественными вложениями Ут -4 Уо, имеем мономорфизмы Лт -> V?, дающие при прямом перемножении мономорфизм Г(Л) —> У0Л4хЛ1. Поскольку модуль дЛ вкладывается в дГ(Л), он вкладывается и в 1ф'МхЛ/' и поэтому является 1ф'Л4><Л/'-рефлексивным.