Алгебраическая К-теория некоторых многообразий и смежные вопросы

• Автор: Ананьевский, Алексей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 148 с.

Содержание
Введение
Глава 1. /Г-теория однородных многообразий
1.1. Представления редуктивных алгебраических групп
1.2. Комбинаторика подгруппы
1.3. Ограничение пре/вставлений
1.4. Примеры: А4 + Ах С (?2, Ва С А* и С + С„_ С С„
1.5. Представления, векторные расслоения и А^-теория
1.6. А'-теория однородных многообразий
1.7. А-теория скрученных форм
1.8. Примеры
Глава 2. ДА-ориентированные теории когомологий
2.1. Предварительные сведения о БН(к) и кольцевых теориях когомологий
2.2. Специальная линейная и симштектическая ориентации
2.3. Трансферы вдоль замкнутых вложений
2.4. Предварительные вычисления в стабильных когомотопических
группах и стабильное отображение Хопфа
2.5. Обращение стабильного отображения Хопфа
2.6. Дополнение к нулевому сечению
2.7. Специальная линейная версия теоремы о проектпвизирован-
ном расслоении
2.8. Принцип расщепления
2.9. Когомологии многообразий АА-флагов
2.10. Симметрические многочлены

2.11. Когомологии специальных линейных грассманианов и классифицирующих пространств
Глава 3. О соотношении алгебраических МЙХ-кобордизмов и производных групп Витта
3.1. Мотивные сферы и символы
3.2. Теоремы универсальности
3.3. Эрмитова /Г-теория Шлихтинга и группы Витта
3.4. Т-спектр ВО и теория когомологий ВО*'*
3.5. Мотивная версия теоремы Коннера-Флойда
Литература

Введение.
В алгебраической геометрии существует большое число теорий когомологий, доставляющих различные инварианты многообразий. Однако зачастую эти инварианты с трудом поддаются вычислению. Существуют различные алгебраические, геометрические и топологические подходы к этой проблеме.
Один из основных методов состоит в том, чтобы свести вычисление теории когомологий на данном многообразии к вычислению значения в простейшем случае — на базовом поле. К результатам такого плана можно отнести хорошо известное описание групп Чжоу однородных многообразий при помощи циклов Шуберта [1], или же классическое вычисление Д.Квиллена [2], описывающее алгебраическую /Г-теорию проективного пространства,
ЛЧ(РП) ^ К'(к)Щ/ (Г+1). (1)
Иногда при вычислениях удается использовать общие методы, позволяющие получать единообразные ответы для широкого круга теорий, удовлетворяющих некоторым наборам аксиом. С другой стороны, при вычислениях конкретных теорий когомологий можно использовать их специфические особенности. Например, поскольку Д'-теория основана на векторных расслоениях, то к её вычислению можно привлекать аппарат теории представлений. Больше всего результатов такой подход дает для однородных многообразий. Помимо уже упомянутого выше результата Д.Квиллена для проективных пространств, стоит отметить вычисление Р.Суона, описавшего А'-теорию проективных квадрик [3]. Случаи скрученных форм этих многообразий, т.е. многообразий Севери-Брауэра и нерасщепимых проективных квадрик, также были разобраны в названных работах. Для скрученных форм ответ носит по сути аналогичный характер, только помимо Л'-теории поля может возникать-/Г-теория некоторых центральных простых алгебр, в частности, для квадрик
Несложно показать, что фундаментальная камера С(С + С*п_і) следующим образом разбивается на подкамеры:
С(Сх + сп_0 = С(Сп) и юа1С(Сп) и
ґШаі+а2^сц(-'(Сп) и . . . и (Юаі-] Ьап_і • • • 'Шаі-.а2'Шаі)С(Сп), (1.56)
(^аі4 і-йі • • • ^аі+а2^аі)^(^п) = (^1> ^2> ■ ■ • ) ^г> ^і+1) ■ • • ^п)• (І’^І)
Следствие 1 утверждает, что представления ІДО), ..., образу-
ют искомый базис. Эти представления совпадают с внешними степенями Лг1П регулярного 2П — 2-МерНОГО Представления ЦТ ГруППЫ Бр2п
1.5. Представления, векторные расслоения и К—теория.
В этом параграфе мы напоминаем некоторые факты об эквивариантной 16-теории. Более подробное изложение и дальнейшие ссылки можно найти в [5].
Пусть Н < С — связные расщепимые редуктивные алгебраические группы одного ранга. Обозначим соответствующее С-однородное многообразие посредством X = С/Н. Существует хорошо известная тензорная эквивалентность [5, Пример 2]
Яерк{Н) УесЬа(Х) (1.58)
категории конечномерных Аьрациональных представлений группы Н и категории (З-эквивариантных векторных расслоений над X. Обратная эквивалентность задается взятием слоя над точкой еН Є X. Далее мы будем использовать следующие обозначения.
Определение 6.
• П#(А) — С-эквивариантное векторное расслоение над С/Н, соответствующее неприводимому представлению Н#(А) группы Н со старшим