Ядра и пучки полутел

• Автор: Черанева, Анна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Киров
• Количество страниц: 95 с.

Содержание
Введение
Глава I. Предварительные сведения
§1. Основные понятия
§2. Сократимые конгруэнции
Глава II. Ядра полутел
§3. Главные ядра полутел
§4. Полутела с образующей
§5. Условия дистрибутивности полутела
§6. Неприводимые ядра полутел
Глава III. Пучки и функциональное представление полутел
§7. Пучки полутел. Компактные пучки
§8. Полутела сечений
§9. Структурные пучки и функциональные представления полутел
§10. Бирегулярные полутела
Литература
Предметный указатель

Введение
Данное диссертационное исследование посвящено сравнительно новому разделу современной алгебры - теории полутел. Ее целью служит получение функциональных представлений полутел и их применение к описанию строения полутел.
Изучение полутел ведется с 60-х годов XX века в рамках теории полуколец, начиная с работ Н. J. Weinert [54, 55, 56, 57]. Понятие полукольца было определено Н. S. Vandiver в 1934 году [53]. Теория полуколец начала развиваться в 50-е годы прошлого столетия в работах американских и японских математиков. Пожалуй, первой книгой по общей теории полуколец стала монография J. S. Golan 1992 года [45]. В ней имеется определенная информация о делимых полукольцах и по-лутелах. В дальнейшем вышли книга В. В. Чермных [33], обновленная монография J. S. Golan [46], библиографический обзор К. Glazek [44], брошюра Е. М. Вечтомова [8] и другие.
Перечислим некоторые наиболее важные темы и результаты о полу-телах, дающие представление об этом алгебраическом объекте.
Н. J. Weinert [57] показал, что класс идемпотентпых полутел совпадает с классом решеточно упорядоченных групп. С. В. Полин в статье 1974 года [22] ввел естественный порядок на полутелах, описал простые полуполя и доказал, что любое простое полутело либо идемпотентно, либо является сократимым полуполем. В большой статье 1990 года [48]
Н. С. Hutchins, Н. J. Weinert изучали общие свойства ядер полутел, в частности установили изоморфизм между решетками конгруэнций и ядер произвольного полутела; рассматривали алгебраические и транс-

цендентные расширения полуполей, вкладываемых в поля. В работе 1998 года [4] В. И. Варанкиной, Е. М. Вечтомовым, И. А. Семеновой определены гомоморфные соответствия 8 и 7 между решеткой конгруэнций сократимого полукольца и решеткой идеалов его кольца разностей. Эти соответствия служат важным инструментом в исследовании произвольных полутел. Стала изучаться решетка ядер полутел и ее свойства.
А. Н. Семенов [25] доказал, что всякое полутело является расширением сократимого иолутела при помощи идемпотентпого полутсла. Этот результат явился одной из общих структурных теорем теории полутел. Его можно сравнить с теоремой Е. М. Вечтомова [7] о представлении полукольца как расширения кольца при помощи антикольца (полукольца с условием: а + Ь = 0 влечет а — 0).
Важные свойства решетки ядер полутел установлены в статье 2003 года [26| А. Н. Семеновым, в которой в частности доказано, что конечность решетки ядер иолутела влечет ее дистрибутивность.
А. В. Ряттель [24] изучала линейно упорядоченные иолутела и алгебраические расширения идемпотентных полуполей, описала циклические полутела и однопорождеппые идемпотентные полуполя. Порядки на полутелах исследовал также А. Н. Семенов [27], он получил необходимые и достаточные условия линейного упорядочивания полуполей.
В связи с развитием идемпотентпого анализа В. П. Масловым и его учениками исследовались вопросы линейной алгебры и теории уравнений над идемпотентными иолуполями [18, 21, 39]. Заметим также, что теория полуколец и полутел находит применение и в дискретной математике.
Алгебраические уравнения над полуполями и полутелами исследо-

Доказательство. В доказательстве нуждается лишь тот факт, что для любого а £ (2) существуют такие х',у' £ (2), что 2~т + х' — а и а + у' = 2т, т £ N. Для этого дважды применим теорему 3.1. Для а существуют такие х, у £ 17, что 2~п + х = а и а + у — 2", п £ N. Тогда
2-п-х + + = 2-п + х = а < 2П < 2" + 2П = 2"+1,
то есть ж' = 2-71-1 + х £ (2). Далее
2_п_! < 2_п <а<0 + у + а + 1/ = 2П+1,
то есть у' = а + 2у £ (2), т = п + 1.
Из этой теоремы вытекает утверждение, усиливающее теорему 2.А.
Теорема 3.3. Любое полутело 17 является расширением ограниченного полутела с помощью идемпотентного полутела
§4. Полутела с образующей
Определение 4.1. Полутело II называется: полутелом с конечным числом образующих, если найдется конечное число элементов е1:
Предложение 4.1. Если и - нетривиальное полутело с образующей, то в качестве образующей можно выбрать элемент, больший 1.
Доказательство. Пусть а - образующая полутела 17, тогда элемент ((а + а-1)2 = а2 + 2 + а~2 > 1 не лежит ни в одном собственном ядре по свойствам 1.12 и 1.11, а значит, является образующей полутела 17.