Автоморфизмы конечномерных алгебр и аффинных многообразий

• Автор: Перепечко, Александр Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 63 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Моноиды эндоморфизмов конечномерных алгебр
1.1 Введение
1.2 Некоторые специальные алгебры
1.2.1 Алгебра Л(Ц 5)
1.2.2 Алгебра Л(Р, и, 5,7)
1.3 Аффинные моноиды как нормализаторы линейных подпространств
2 Разрешимость групп автоморфизмов
2.1 Введение
2.2 Признаки разрешимости
2.3 Экстремальные алгебры и теорема Яу
2.4 Глобальный случай и гипотеза Гальперина
2.5 Подгруппы автоморфизмов и ограничения на размерность
3 Автоморфизмы аффинных конусов
3.1 Общие сведения
3.2 Гибкость аффинных конусов
3.3 Поверхность дель Пеццо степени 5
3.3.1 Цилиндры
3.3.2 Условие полярности
3.4 Поверхности дель Пеццо степени
3.4.1 Цилиндры
3.4.2 Условие полярности

Введение
Данная диссертация посвящена изучению преобразований алгебро-геометри-ческих структур, а именно конечномерных алгебр и аффинных алгебраических многообразий.
В конце 1860-х годов Феликс Клейн и Софус Ли провели совместное исследование «геометрических и аналитических объектов, которые переходят в себя под действием групп преобразований». Фактически, произошло зарождение понятия группы преобразований. Клейн был сосредоточен на дискретных группах, а Ли изучал непрерывные группы преобразований. Он понял, что эти группы являются мощным инструментом в геометрии дифференциальных уравнений. Основной идеей Ли было изучение инфинитезимальных образующих действий группы преобразований. Подобные инфинитезималъ-ные образующие лежат в касательной алгебре, из которой выросло понятие абстрактной алгебры Ли.
Комплексные линейные алгебраические группы являются наиболее изучаемым семейством групп Ли. Одним из первых тщательное изучение этих групп и их касательных алгебр провёл Людвиг Маурер в 1888-1899 годах. В частности, он исследовал разложение Жордана, оболочку однопараметрических подгрупп и ряд других вопросов. В своей последней работе этого периода Маурер пытался доказать ложное утверждение о том, что инварианты связной группы Ли конечно порождены. Тем не менее, его доказательство оказалось верным для однопараметрических унипотентных групп, см. теорему Вейценбека.
С развитием понятия пространства и оснований геометрии, где наиболее заметные преобразования были произведены Бернхардом Риманом в XIX веке и Александром Гротендиком в XX веке, также развивалась и теория групп Ли.

В 1940-х годах Клод Шевалле дополнил и обобщил методы теории групп и алгебр Ли. Опираясь на работы Маурера, он применил эти методы к теории алгебраических групп над произвольным полем нулевой характеристики. В случае поля положительной характеристики методы теории алгебр Ли оказались не столь эффективными, поэтому общее исследование линейных алгебраических групп было проведено Эмилем Борелем с помощью методов алгебраической геометрии. После работ Бореля и Колчина теория линейных алгебраических групп приобрела упорядоченный иид.
Другим направлением исследований, порождённых работами Ли, стало изучение бесконечномерных групп преобразований. Например, в 1900-х годах Эли Картан изучал бесконечномерные обобщения простых групп Ли. Также в 1960-х годах Виктор Кац и Роберт Муди независимо друг от друга положили начало изучению нового типа бесконечномерных алгебр Ли, называемых теперь алгебрами Каца-Муди. Однако общая теория бесконечномерных групп Ли далека от завершения.
В диссертации изучаем как алгебраические, т.е. конечномерные, группы преобразований, так и бесконечномерные. В первой главе диссертации мы изучаем связь между эндоморфизмами конечномерных алгебр и линейными алгебраическими моноидами. Во второй главе мы рассматриваем проблему разрешимости групп автоморфизмов конечномерных алгебр. В третьей главе мы исследуем аффинные многообразия с бесконечномерной группой автоморфизмов, действующей бесконечно транзитивно на подмножестве гладких точек, и описываем несколько семейств таких многообразий.
Всюду в работе К — алгебраически замкнутое поле, причём в главе 1 его характеристика может быть любой, а в главах 2 и 3 предполагается, что характеристика поля нулевая.
Хорошо известно, что каждая аффинная алгебраическая группа изоморфна замкнутой по Зарисскому подгруппе общей линейной группы ОЪ(У) некоторого конечномерного векторного пространства V. Аналогично, каждый аффинный алгебраический моноид изоморфен замкнутому подмоноиду моноида ЦК) всех эндоморфизмов конечномерного векторного пространства К, см. например [31, теорема 3.8] или [8, лемма 1.11].

Замечание 2.2.10. Необходимо отметить, что при переходе к ассоциированной градуированной алгебре gr S левая часть (2.1), вообще говоря, возрастает. В самом деле, рассмотрим идеал I < R младших однородных компонент элементов идеала I. Тогда gr S = R/I. Можно проверить, что codirnjj(/) = codirnд(7) и codim^(m/) ^ codiirpj(m/). Отсюда следует неравенство dim I/ml ^ dim I/ml. Неравенство является строгим, например, для / = (х2 -у3,х3) <К[ж,у].
2.3 Экстремальные алгебры и теорема Яу
Напомним, что под экстремальной алгеброй мы понимаем конечномерную алгебру, удовлетворяющую равенству dim I/ml — I + п — 1 из теоремы 2.1.1.
Теорема 2.3Л. Экстремальная алгебра S имеет неразрешимую алгебру ди-ференцироваяий Der S тогда и только т,огда, когда она им,еет, вид S = Si С S2, где
«Si = K|xi, Ж21/(жг1; xll~1x2,.. ., хх1Д1, х12) для некоторого I ^ 2,
S2 = К[жз,.. •, xn]/(w2, • ■ •, w„-1),
v где шг 6 m/ П К[ж3,..., ж„] образуют регулярную последовательность.
Доказательство. Предположим, что S = SiS2 как в формулировке теоремы. Тогда группа GL((xi, ж2)) может быть вложена в Aut S. Следовательно, подалгебра Si обладает естественной структурой sl2-представления. Мы полагаем это представление тривиальным на S2.
Наоборот, пусть алгебра дифференцирований Der S локальной алгебры S = R/I неразрешима. Вспомним рассуждения из раздела 2.2. Из них следует, что S экстремальна тогда и только тогда, когда в цепочке неравенств (2.3) все члены являются равенствами. Первое равенство справедливо тогда и только тогда, когда W содержит ровно к простых з[2-подмодулей, а их веса есть ln 1,..., 1щ.. Второе равенство выполняется тогда и только тогда, когда щ = 1, п2 = ... = пк = 0.
При этих условиях к = п — 1, а простые sl2-подмодули V есть (х1,х2)! (ж3),..., (ж„). Тогда Whigh = (wi,. wn-i). где wt(tüi) = I, wt(iu?) = 0 при