Топологические методы в K-теории, теории колец и теории локализаций

• Автор: Гаркуша, Григорий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 190 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Системы диаграммных категорий, дериваторы Гротендика и К-теория
1.1 Системы диаграммных категорий
1.1.1 Обозначения
1.1.2 Аксиомы
1.1.6 Следствия из аксиом
1.2 Дериваторы
1.2.1 Определения
1.2.8 Выделенные дериваторы
1.2.9 Пример
1.3 S'-конструкция
1.4 Некоторые сведения из теории симплициальных множеств
1.5 Г-пространства
1.6 Теорема аддитивности
1.7 Теорема сравнения
1.8 Гомотопически универсальные квадраты
1.9 Теорема аддитивности для дериватора Ш>Ь(Д)
1.10 Дериваторы, ассоциированные с комплициальными бивальдхау-зеновыми категориями
1.11 Производная ІГ-теория точной категории
1.11.2 Теорема об аппроксимации и резольвенте
1.11.7 Спаривания
2 Гомотопическая теория ассоциативных колец
2.1 Предварительные сведения
2.2 Функтор Sing«
2.2.1 Гомотопизация
2.2.4 Модельная категория [79?/
2.3 Теории гомологий колец

2.3.1 Расслоения колец
2.3.3 Модельная категория СЛКу
2.3.7 Модельная категория (У
2.3.12 Последовательность Пуппе
2.3.15 Теории гомологий
2.4 Производные категории колец
2.4.1 Категории фибрантных объектов
2.4.5 Структура левой триангуляции
2.5 Стабилизация
2.6 Триангулированная категория кк
2.7 Приложение
3 Классификация конечных локализаций квазикогерентных пучков и восстановление схем
3.1 Локализация в категориях Гротендика
3.2 Конечные локализации категорий Гротендика
3.3 Конечные локализации в категории модулей
3.4 Топологическое пространство Бр^^(Х)
3.5 Теорема классификации
3.6 Топология Зарисского на Бр(Х)
3.7 Простой спектр идеальной решетки
3.8 Восстановление квазикомпактных, квазиотделимых схем
3.9 Когерентные схемы
Список литературы
Предметный указатель (упорядочен в алфавитном порядке по первой букве)

Введение
Топологические методы в алгебре многообразны. Каждый из них имеет применение в решении различных давно стоявших проблем, что показывает целостность предмета и говорит о необходимости развития этих методов. Возможности некоторых из них еще только начинают проявляться в полную силу.
Если говорить об алгебраической КГ-теории, то важной особенностью этой теории, особенностью, приведшей к возникновению действительно новых точек зрения в самой алгебре, является возможность использовать методы гомотопической топологии. Так, важнейшим открытием Квиллена [73] в 70-е годы в построении высшей алгебраической Л'-теории было наблюдение, что высшие К-группы должны определяться как гомотопические группы некоторого топологического пространства, которое называется в литературе пространством К-теории.
Мы нс станем останавливаться на обзоре достижений алгебраической К-теории после Квиллена, отметим только фундаментальную работу Вальдхаузе-на [89]. В ней строится алгебраическая К-теория для категорий с корасслоениями и слабыми эквивалентностями, которая также называется /Г-теорией Вальд-хаузена, а такие категории называются в литературе категориями Вальдхаузе-на. Важными примерами категорий Вальдхаузена служат точные и модельные категории в смысле Квиллена. Отметим, что исходными задачами у Вальдхаузена были некоторые вопросы, связанные с приложениями КГ-теории в геометрической топологии. К-теория Вальдхаузена приводит к мощным обобщениям теории Квиллена. Здесь уместно отметить выдающуюся работу Томасона [79] по высшей алгебраической Л'-теории схем, в которой К'-теория Вальдхаузена работает в полную силу. КТ-теория Вальдхаузена также тесно связана с некоторыми фундаментальными вопросами гомотопической алгебры, предметом, созданном Квилленом в [72]. Он возник как язык, предназначенный для описания топологических свойств алгебраических объектов. Основным объектом гомотопической алгебры служат модельные категории.
Каждой категории Вальдхаузена (С,ги), где ш — класс слабых эквивалентностей, можно сопоставить категорию Но С, полученную из С путем обращения стрелок из ги. Категория Но С называется в литературе производной или гомо-

и для каждого бифунктора : / —> д бифунктор <р* индуцирует естественное преобразование

5„В(7)

Положим §ПВ; = 5ПВ(7). Тогда §ПВ — иредсистема диаграммных категорий или предериватор, соответственно. §оВ тривиальна, и для п ^ 1 предложение 1.3.1 влечет эквивалентность
Так как В(ДП_1) — левая система диаграммных категорий или левый выделенный дериватор, соответственно, то таковой является и 8ПВ. Поэтому получаем симплициальную левую систему диаграммных категорий или симплициальный левый выделенный дериватор, соответственно,
§.В : Ап у-> §ПВ.
Рассмотрим следующую симплициальную категорию:
5.В : Ап ^ 5ПВ.
Для п ^ 0 через гй'пВ обозначим подкатегорию БпВ, чьи объекты суть те же, ЧТО и В БпВ, И ЧЬИ морфизмы — изоморфизмы В 5ПВ, и пусть гДпВ — нерв г£„В. Тогда получаем следующий бисимшшциальиый объект:
г.5. : Дт х Дг‘ гт5„В.
1.3.3 Лемма. Пространство ф^.В! является связным.
Доказательство. Геометрическая реализация биеимплициалыюго множества — это диагональ. Если Ог, 02 £ Ф^оВ и / : 0 —> 02 — единственный морфизм в 5оВ, соединяющий их, то для А = сг0(/) € й^В имеем: до А = О2, дА = 0. □
6 Определение. Группа Гротендика .Ко(®) порождена множеством классов изоморфности [Л] объектов из В0 и имеет такие соотношения: [В] = [Л] • [О] для любого Е е й’гВ такого, что -Е(од) = А, Е(0,2) = В и Е( 1д) = С.
1.3.4 Лемма. 7Г1|г.5.В| ~ /<о(В).
Доказательство. яДг.!?.!)! — свободная группа на 7Го|г.51В| по модулю соотношений Д{х) = й2(х)(10(х) для каждого х £ тто^-Дэ®!- Это следует из того, что яДг.б'оВ! = 0 и из спектральной последовательности Бусфелда-Фридланде-ра [18]. 7Го|г.5гВ| — множество классов изоморфности объектов из Во, 7Га|г.5^2В[ — множество классов изоморфности объектов из и морфизмы ф : 52В -1* посылают Е в Е( 1>2), Е(.0,2) и в Е^0}р, соответственно. □