Определители булевых матриц и их приложения

• Автор: Поплавский, Владислав Брониславович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 224 с.

Содержание
Введение
Исторический обзор и актуальность темы исследования
Структура работы
Апробация результатов
1 Перманенты и определители квадратных булевых матриц
Введение
1.1 Основные операции алгебры булевых матриц
1.2 Определители и перманенты булевых квадратных матриц
1.3 Некоторые свойства определителей
1.4 Перманенты и определители произведений булевых матриц
1.5 Двойственные перманенты и определители
2 Разложение определителей булевых матриц
Введение
2.1 Разложения булевой матрицы на внутреннюю, детерминантную и внешнюю части
2.2 Формулы Лапласа для перманентов булевых
матриц
2.3 Комбинаторные свойства внешних
и детерминантных булевых матриц
2.4 Формулы Лапласа для булевых матриц
с нулевой внутренностью
2.5 Разложения Лапласа и вырожденные матрицы
2.6 Разложения Лапласа для произвольных
квадратных булевых матриц
3 Обратимые и присоединенные булевы матрицы

Введение
3.1 Присоединенные булевы матрицы
и формула Лапласа
3.2 Обратимые булевы матрицы
3.3 Обратимость и разложения детерминантов
3.4 Формулы Крамера для систем линейных уравнений с обратимой квадратной
матрицей коэффициентов
3.5 Правые и левые действия группы обратимых
булевых матриц и перманентное разложение
4 Степени булевых матриц
Введение
4.1 Циклические полугруппы степеней булевой
квадратной матрицы
4.2 Некоторые свойства степеней булевой квадратной матрицы
4.3 Индексы и периоды обратимых булевых матриц
4.4 Максимальные индексы и периоды
4.5 Обертоны диагональных элементов степеней
4.6 Перманенты и определители степеней квадратной булевой
матрицы
4.7 Перманенты и определители транзитивных
и рефлексивных булевых бинарных отношений
на конечном множестве и их степеней
5 Классы Грина, ранговые функции
и определители булевых матриц
Введение
5.1 Строчные, столбцовые и факторизационные ранги булевой
матрицы
5.2 Классы Грина частичной полугруппы
булевых матриц всевозможных размеров М(В)
5.3 Минорные и перманентные ранги
булевых матриц
5.4 Ранги и определители матриц частичной
полугруппы всех булевых матриц
5.5 Двойственные минорные ранги

5.6 Совместность матричных уравнений
5.7 Регулярность и ассоциативные формулы
дуальных произведений
5.8 Вторичные идемпотенты
5.9 Вторичные идемпотенты и классы Грина
5.10 Матричные идемпотенты и транзитивно-рефлексивные замыкания
6 Минорный ранг, нули определителя булевой матрицы и их приложения
Введение
6.1 SL-зависимость и ее свойства
6.2 О минорно-ранговых столбцах и строчках
булевой матрицы
6.3 Свойства матриц с нулевым определителем
6.4 Приложения к комбинаторике матриц
7 Приложения к матричным уравнениям и неравенствам
Введение
7.1 Минорные ранги и достаточные условия совместности простейших матричных уравнений
и неравенств над В2
7.2 Формулы Крамера для систем линейных неравенств с квадратной матрицей коэффициентов
Приложение
Литература
Публикации автора по теме диссертации

Понятно, что для такой вторичной булевой алгебры (Втхп, и, П/ , О, I) нулем и единицей служат матрицы О = (0) и I = (1) , образованные из нулей и единиц соответственно.
Определение 1.1.2 Объединением элемента Л £ В и матрицы,
А £ Втхп назовем матрицу А и А € Втхп , элементы которой вычисляются как А и (Л*) = (А и А*) . Аналогично определяется пересечение:
А П (А}) = (А П А))
Булевы матрицы одного и того же размера тхп образуют полумодуль над булевым полукольцом, то есть непустое множество с двумя операциями: объединением матриц АО В (заменяющим сложение) и пересечением матрицы с элементом из булевой алгебры А П А (заменяющим умножение на скаляр), удовлетворяющими для любых матриц и булевых скаляров следующим аксиомам:
1.(А 11В)иС = Аи(Ви С),
2.А11 В = В и А,
3.1 П А = А,
4.(аП/3)ПА = аП(/ЗпА),
5.(а и /3) П А = (а Г) А) и (/3 П А),
6.а П(АиВ) = («ПА)и(аП5).
Это позволяет далее говорить о линейных комбинациях булевых матриц, вводить понятия линейной зависимости и независимости матриц.
Определение 1.1.3 Конъюнктным произведением матриц А 6 Втхп и В £ ВПХ5 назовем матрицу С — А П В € ВтХ8 того же размера, элементы, С) которой вычисляются по формуле С]
Дуальным образом можно определить дизъюнктное произведение матриц С = АиВ , элементы которой вычисляются как С) = П”=1(А*иВ|) . Очевидно,
(А П В)’ - А' и В(А и В)' = А' П В'.
Далее чаще всего будет рассматриваться только конъюнктное произведение. Учитывая это, также отдавая дань традициям в терминологии, именно эту операцию будем иметь в виду под термином "произведение".