Расположение подгрупп полной линейной группы степени два над полем рациональных функций, содержащих квадратичный тор

• Автор: Дзигоева, Валентина Созрыкоевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Владикавказ
• Количество страниц: 107 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I. Общие вопросы расположения подгрупп
§1. Общая постановка задачи
§2. Сетш Сетевые группы
§3. Гирлянды
§4. Факторизация
Глава II. Промежуточные подгруппы, связанные с квадратичным расширением основного поля нечетной характеристики
§1. Кольца множителей
§2. Кольца и модули, связанпные с промежуточной подгруппой
§3. Включение в нормализатор
§4. Правило перемещения
§5. Подгруппы, связанные с допустимой парой
§6. Наибольшая и наименьшая подгруппа подрешетки
§7. Описание подгрупп из подрешетки, связанной с допустимой
парой
§8. Операция спуска
§9. Операция подъема
Глава III. Строение решетки промежуточных подгрупп, содержащих квадратичный тор, для поля рациональных функций
§1. Представление неприводимых многочленов четной степени
§2. Описание кольца До
§3. Допустимые кольца
§4. Идеалы допустимых колец
§5. Строение решетки Ьа1;(Д, А)
§6. Стабильный ранг колец, связанных с промежуточными подгруппами
Список литературы

Введение
Теория линейных групп является наиболее важным, перспективным и интенсивно развивающимся направлением в современной алгебре. Находясь на стыке многих направлений (общая теория групп, теория колец, теория чисел, группы Шевалле и др.), теория линейных групп представляет собой обширную область приложений в различных разделах современного естествознания.
На протяжении многих лет изучаются различные вопросы, связанные со структурой классических групп. Особый интерес вызывают такие вопросы, как описание нормального строения, описание изоморфизмов, образующие и соотношения, описание различных классов подгрупп. Остановимся на обозначенных направлениях подробнее.
Описание нормальных делителей для линейных групп над полями, начатое в классических работах К.Жордана, Л.Диксона, Ж.Дьедонне, обобщалось в дальнейшем на разные классы колец. Центральный результат в этом направлении принадлежит Х.Бассу, который показал, что для любой подгруппы Н группы (?Б(п, Я), нормализуемой элементарной группой Е(п,Я), существует единственный идеал А, что подгруппа Н заключена между элементарной подгруппой Е(п, Я, А), определяемой этим идеалом, и подгруппой матриц, образы которых (при редукции по модулю А) содержатся в центре группы С?А(п, Я/А). При этом предполагалось, что п>2ии больше стабильного ранга кольца Я. Для коммутативного кольца Я при п > 2 Дж.Уильсон и И.3.Голубчик доказали, что стандартное описание нормальных подгрупп, даваемое теоремой Басса, справедливо вне зависимости от стабильного ранга кольца, а А.А.Суслин установил нормальность элементарной группы в ОЬ(п,Я). Различные вопросы, связанные с нормальным строением классических групп над кольцами и нормальностью элементарной подгруппы, рассматривались

Д = Д(Л) - кольцо множителей модуля А, т.е. Д = {А £ к : ХА С А}. Если Д Э Д0 и рА2 С Д, то имеют место включения
Под р А понимается Д-подмодуль модуля А, порожденный всеми элементами да, где д £ д, а £ А. Согласно лемме 2.2.2 А и рА - целые идеалы кольца Д.
Пусть выполнены условия леммы 2.2.2. Рассмотрим таблицу
которая согласно лемме 2.2.1 является сетью, т.е. <т;г С ар для всех 1 г,д 2. Определим сетевую группу С?(а) = (е 4- М(а))*, где е -единичная матрица, М(а) = {а = (ар) : ар 6 ар} - сетевое кольцо. Итак, сетевая группа С?(а) состоит из всех обратимых элементов кольца с единицей е + М(а).
Лемма 2.2.3. Имеет место равенство:
Доказательство. Заметим, что д&д £ Д* для всякого д £ е + М(а). Следовательно, включение (С) очевидно. Докажем обратное включение. Пусть д £ е + М(а) и Д = с?е£д £ Д*,
(5 Л (по лемме 2.2.2), то Д = деЬд 6 1 + СА. Поэтому А-1 £ 1 + СА, откуда д“1 £ е + М(а), а потому д £ б?(а).

дл2 с л, дл с д, рА с д с д, цл с дл, м2 с дл.
д(а) = {д £ е + М(а) : (!&д £ Д*}.
I , где ац,а22 £ дЛ, 021 £ Л, ах2 £ /оЛ.
И21 1 + 022
. Так как Д = det д и а120-21 С рА2 С