Вариации Римана-Роха

• Автор: Голышев, Василий Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 50 с.

Содержание
0. Введение
1. Локальные системы
1.1. Катце вы локальные системы
1.2. Формула Н-рядов
1.3. Полные пересечения в проективных пространствах
1.4. Построение локальных систем по расслоениям '
1.5. Подкрутка и отражение .
1.6. Исключительные наборы
1.7. Квазикатцевы многообразия
2. Б-модули
2.1. Гипергеометрические дифференциальные операторы
2.2. Считающий Б-модуль и антиканонический Б-модуль Римана-Роха
2.3. Клетки Шуберта
2.4. Б-модули Римана-Роха многообразий Калаби-Яу и Фано
3. 1-адические пучки
3.1. Приблизительно равны .
3.2. Гипергеометрические объекты над конечными полями
3.3. Пучок Римана-Роха
3.4. Зеркальное однопараметрическое семейство
3.5. Основные теоремы
4. Послесловие
4.1. Гипотеза 1: категорное соответствие
4.2. Гипотеза 2: трифолды Фано
Список литературы
0. Введение

Актуальность темы. В последнее десятилетие — говоря точнее, с момента появления работы [СООР] — математики и физики целенаправленно изучают группу явлений, объединяемых термином “зеркальная симметрия”. В узком понимании зеркально-двойственными оказываются многообразия или семейства многообразий, в более широком — два взгляда на когомологии алгебраического многообразия, зависящего от параметра, две группы теорий; ядра этих теорий давно стали классикой алгебраической геометрии.
Одна теория — “конструктивная”. Это теория вырождения варьирующегося по параметру многообразия. Ее проявления в конкретных теориях когомологий — теория вырождения структур Ходжа, теория локальной монодромии в I -адических пучках. Если рассматривать вариации по одномерному параметру, то в каждой из этих теорий на когомологиях возникает (в комплексном случае “горизонтально” действующая на ромбе Ходжа).
Другая теория — “когерентная” (с точки зрения ромба Ходжа — вертикальная). Согласно сильной теореме Лефшеца, с (очень обильным) классом дивизоров связано действие алгебры на когомологиях многообразия.
При желании, центральным явлением зеркальной симметрии можно считать именно эту похожесть двух 5/2 -формализмов (отмеченную, кстати, давно — см. [Ог] — но до сих пор не проясненную).
Частью чего являются эти -формализмы в каждой из двух теорий? В конструктивной теории — если рассматривать вариации с многомерным параметром — каждому направлению подхода к точке самого глубокого вырождения соответствует своя э12- Эти в12 организуются в редуктивную алгебру Ли, связанную с группой глобальной монодромии вариации.
Можно ли расширить теорему Лефшеца в когерентной теории до больших алгебр Ли? А до групп Ли? Ответ на оба эти вопроса в принципе положительный (см. [1Х], [011,0]) — да, в когерентной теории имеются зеркальные двойники алгебр Ли и групп Ли из конструктивной теории. Но эти алгебры Ли и группы Ли вторичны: первичный объект, из которого они извлекаются, — сама вариация.
Вопрос номер 1 зеркальной симметрии для нас, стало быть, — как правильно построить по когерентным данным на многообразии абстрактную вариацию.
Вопрос номер 2 — почему, собственно, эта вариация будет геометрической (т.е. почему пучок или В-модуль будет высшим прямым образом постоянного пучка на каком-либо семействе на пространстве параметров)?
Есть два способа отвечать на вопрос 1.
Первый: строить вариацию по определенным формальным правилам на основе исчисления рациональных кривых, проходящих через заданные циклы на многообразиях. Вопрос 2 становится тогда проблемой.
Второй способ: строить зеркально-симметричное семейство из геометрических или комбинаторных соображений. Вопрос 2 теперь тавтологичен, а доказывать нужно то, что когерентные данные исходного многообразия выражаются в терминах, относящихся к вариации получившегося семейства.
Сложности имеются и на том и на другом пути. На первом: мы не очень хорошо умеем считать рациональные кривые; мы не знаем наверняка, только ли рациональные кривые (и только ли кривые) должны вносить вклад. На втором: искомое

соответствие многообразий “не слишком-то геометрично” и во всяком случае не алгебро-геометрично. Кроме того, обычно нет уверенности относительно того, что именно следует считать базой семейства (например, зеркально-двойственным одному и тому же семейству КЗ разные, специалисты полагают разные семейства — отличающиеся уровнем). "
Возможны ли другие ответы на вопрос 1?
Обратимся к исторически первому примеру — квинтик в Р4 (см. например [Gil]). В наиболее распространенном постановке вопрос выглядит так:
Что за конструкция сопоставляет семейству всех квинтик в Р4 однопараметрическое семейство (Р) вырожденных многообразий Калаби-Яу, задаваемых уравнением

Xj + 5-0 J7 Xj = О?
*=0 i=
Мы же сформулируем задачу по-другому:
Указать конструкцию, сопоставляющую комплексам векторных расслоений на квинтике Q вариации, так что комплекс
О —> касательное расслоение к Р4 |д—» нормальное расслоение к Q в Р4 —» О?
переходит в мотивную вариацию, реализующуюся в средних когомологиях слоя семейства (Р).
С когерентной точки зрения, мы расширили постановку вопроса (аргумент зеркального преобразования раньше сводился к инварианту многообразия, а теперь пробегает целый класс объектов), зато на конструктивной стороне проиграли в конкретности: одно дело построить абстрактную вариацию и доказать, что она мо-тивная, то есть может быть реализована в каком-либо геометрическом семействе; а другое — из семейств, в которых она может быть реализована, избрать одноединственное на роль зеркального партнера для исходного когерентного комплекса.
Цель работы. Предъявить, в случае полных пересечений, конструкцию зеркальных вариаций, которая бы
а) не выводила бы нас “за пределы алгебраической геометрии”, т.е. не вовлекала бы в игру без острой необходимости аналитическую, дифференциальную, симплек-тическую ... геометрии;
б) не использовала бы понятий, вызванных к жизни самой теорией зеркальной симметрии (квантовые когомологии, фробениусовы многообразия, и т.д.).
в) для частного случая — комплекса вида (Р) — давала бы вариации, предсказанные другими картинами зеркальной симметрии.
Зеркальная симметрия, рассмотренная в работе [Ко] как некое гипотетическое ка-тегорное соответствие, дает предсказания о свойствах монодромии в зеркальных семействах. В первой главе мы определяем вариации Римана-Роха через их монодромии, так что согласованность с категорной картиной тут почти тавтологична.

1.3. Предложение. И yi -il. Л оіл.-v« її г;ї;ї г(;л:а ліїії:)';і.опі типа над V. /Г
Д конструктивный пучок на X. X V • Л гт „а, со.іучгппая іп X рг.с-
ніирснгп'дї основного воля, Е п»оіі:«*-іг: вуюіций пучок. Тогда
Е ггV, ■ і,іГіи:лх
*&Х(к)
Доказательство. См. [Ми, 6Л3.4[.
Поскольку (триангулированные;) прямые образы с компактным носителем коммутируют с заменой базы, верен и относительный вариант формулы Лефгаеца, которым мы будем постоянно пользоваться;
1.4. Предложение. Пусть X A S ■■■■- морфизм многообразий над к, £ —
объект Dj(XÆ). Тогда для всякого я Є S(k) имеем
]Г Ъ'(£,х) = Ъ{Вщ(€),я).
.*є .¥,{*■}
(Через Xs мы обозначаем слой морфизма тг над s , через Rir — триангулированный функтор прямого образа с компактным носителем).
1.5. Следствие. Пусть С, £г Є Oh /^(Gin.Qü). Обозна чим через /. морфизм умножения Grn X Grn —*■ Gm, ЧЄрЄЗ 7Гі,7Г2 МОрфиЗМЬГ ҐТрОЄКЦИИ Gm Х Gjn на сомножители. Следовая функция свертки с компактным носителем двух объектов
*/ - „ L
£. *! £2 г~ Rm(k*{Ci) 0 ТІ (4)) равна свертке их следовых функций:
Ъ{СХ *,'С2) = Ъ'£х* Тг£2.
(Свертка функций на группе определяется обычным образом:
f 1*з№- Е іШу))- ■
x,y€.Gm‘-(k),xy=X

1.6. Следствие. Пусть
Тг(£,) « TY(4)
Тг (4) « Тг(4).
Тогда
Тг(А *, £2) « Тг(Д *, 4).
2. Гипергеометр.ические объекты над конечными полями Материал этого раздела взят из. книги Н. Катца [Ka-ESDRj.
2.1. Через AS обозначим накрытие Артина-Шр&йера AS : Ga —- Ga, ж ^ х - F{x),