Производные и стабильные категории симметрических специальных бирядных алгебр

• Автор: Антипов, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 126 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Симметрические специальные бирядные алгебры
1.1. Классификация
1.2. Граф Брауэра и комплекс Брауэра
2. Группа Гротендика стабильной категории
2.1. Общие сведения
2.2. Решетка строк матрицы Картана
2.3. Ранг и определитель матрицы Картана
2.4. Вычисление миноров: двудольный случай
2.5. Вычисление миноров: цикл нечетной длины
2.6. Структура группы Гротендика
3. Диаграммы и резольвенты
3.1. Диаграммы модулей и диаграммные морфизмы
3.2. Стандартные модули и морфизмы
3.3. Минимальные резольвенты простых модулей
3.4. Конечная порожденность алгебр Ионеды
3.5. Морфизмы в стабильной категории
3.6. Периодические модули 2-го рода
3.7. Стабильная инвариантность 7Г2
4. Производная эквивалентность
4.1. Центр алгебры и кратности Л-циклов
4.2. Инварианты стабильной эквивалентности
4.3. Элементарные преобразования комплексов Брауэра
4.4. Алгебры рода
Список литературы

Введение
Данная работа посвящена гомологическим аспектам теории представлений симметрических специальных бирядных алгебр, в первую очередь, их классификации с точки зрения эквивалентности различных категорий, связанных с алгеброй; эквивалентности категории модулей (Морита-эквивалент-ности), эквивалентности производной категории (производной эквивалентности), эквивалентности стабильной категории (стабильной эквивалентности).
В ходе развития теории представлений конечномерных алгебр (в первую очередь групповых алгебр конечных групп в случае, когда характеристика поля делит порядок группы) одним из ключевых моментов стало разделение алгебр на ручной и дикий типы представления. Из первого типа также часто выделяют конечный тип представления. Теорема Дрозда [1] утверждает, что всякая конечномерная алгебра А над полем К либо ручная (т.е. ее представления любой размерности исчерпываются конечным числом однопараметрических семейств модулей и конечным числом модулей, не входящими в эти семейства), либо “дикая”, т.е. задача описания всех ее неразложимых представлений (неразложимых А-модулей) равносильна так называемой “дикой задаче” об одновременном приведении пары матриц одинакового размера.
В настоящее время полностью изучена зависимость типа представления блоков групповых алгебр над полем характеристики р в терминах строения ее дефектной подгруппы Р. Д.Хигман в [57] показал, что если сЪаг(К) = р и р делит порядок С то К Є имеет конечный тип представления тогда и только тогда, когда С — циклическая. С.А.Кругляк в [54] показал, что если сЬаг(А') > 2, то групповая алгебра нециклической группы имеет дикий тип представления. Ш. Бреннер [55] показала, что групповые алгебры всех 2-групп, за исключением циклических, диэдральных, полудиэдральных и обобщенных групп кватернионов имеют дикий тип. Бондаренко [9] и Рингель

[56] показали, что групповые алгебры диэдральных 2-групп имеют ручной тип. Наконец, Бондаренко и Дрозд ( [2]) показали, что групповые алгебры полудиэдральных групп и обобщенных групп кватернионов — ручные. Эти же результаты переносятся на блоки групповых алгебр, где те же условия накладываются не на саму группу, а на дефектную подгруппу соответствующего блока.
Поскольку групповые алгебры самоинъективны, и более того, симметрические, значительная часть общей теории развивается в контексте произвольных самоинъективных конечномерных алгебр (кроме того, важно, что стабильные категории таких алгебр триангулированы).
Более или менее удовлетворительная классификация всех самоинъективных алгебр конечного типа имеется в работах Ридтман [22], [3], [4].
Класс самоинъективных алгебр ручного типа гораздо более широк, и. по-видимому, классификация всех таких алгебр не является разумной задачей. Известны, впрочем, частичные результаты, например, классификация самоинъективных алгебр не более, чем с одним параметрическим семейством в каждой размерности, имеется в работе Сковронского и его учеников [5].
С другой стороны, классификация ручных блоков групповых алгебр (с точностью до Морита-эквивалентности) была проделана Эрдманн в 80-х годах (см. итоговую монографию [6]). Эта задача была решена так: аксиоматизировались некоторые установленные свойства категории модулей над алгеброй одного из трех типов, упомянутых выше, и были введены обобщающие эти 3 класса алгебр классы алгебр диэдральиого, полудиэдрального и ква-тернионного типов. Классификация с точностью до Морита-эквиалептноети этих трех новых классов алгебр и была осуществлена Эрдманн. Отметим, что тот факт, что все алгебры из (более широкого) списка Эрдманн в действительности являются алгебрами ручного типа, окончательно был установлен чуть позже (см. [7]).
Поскольку описание всех неразложимых П-модулей изначально было

(1 5)
Следствие 2.18. Идеал Іп-і, порожденный минорами п — 1-го порядка, получающимися из матрицы А<> удалением, строчки, соответствующей ребру е и одного из столбцов, совпадает с идеалом,, порожденным, всевозможными, произведениями вида ІДі2 ... Цп_х, где і < %ч < < г„-і < п — попарно различные индексы
Доказательство. Заметим, что если . ,і3 — номера всех вершин одной из компонент связности, на которые граф Гі распадается после удаления некоторого ребра, то
+ і + + е/й>.
Ні Н2 На
Это следует из леммы 2.17 и того, что
кк **(£ + £ + + £)= е (!)
Рассмотрим теперь произвольную вершину г и применим лемму 2.17 ко всем ребрам, инцидентным і и соответствующим компонентам, не содержащим г. Вычитая сумму соответствующих элементов из (1), получаем, что Іп-1 ПРИ любом і — 1

Лемма 2.19. В предположениях леммы 2.10 идем,л 1пД совпадает, с идеалом., порожденным, всевозможными произведениям,и вида ... кп_х, где к < к < < Ь>-1 < та + 1 — попарно различные индексы
Дока,за,т,елъст,во. Вновь, как и в лемме 2.10, нетривиально лишь одно из включений. Как и в лемме 2.16, для всякого минора (теперь та — 2-го порядка) М = хк + у, х, у е 74-1 матрицы Аг имеем ку + 4+1М е 1. Отсюда, представляя произведение 1лррг- в виде комбинации миноров матрицы А (для всяких г < у < та), получаем, что кЬДДш е 1, т.е. всякий

моном степени та— 1, содержащий и 1п, и 4+1, лежит в ДД- Представляя произведение 1' ДЛп в виде комбинации миноров матрицы А (для всякого г < та), получаем, что ЬДДДЬДл+й е 11