Теорема Апери и задачи для значений дзета-функции Римана и их \&\ i \@\ q \&\ /i \@\ - аналогов

• Автор: Зудилин, Вадим Валентинович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 118 с.

Содержание
Введение

0.1. Теорема Апери

0.2. Иррациональность нечетных дзета-значений

0.3. Гипергеометрические ряды и кратные интегралы

0.4. g-Аналоги дзета-значспий

0.5. Рациональные приближения к £(2)

0.6. Нижняя оценка для ||(3/2)fc|| и проблема Варинга

0.7. Числа Апери и числа Франеля

0.8. Периоды

Глава 1. Одно из чисел £(5), £(7), £(9), £(11) иррационально

1.1. Арифметика простейших рациональных функций
1.2. Линейные формы от 1 и нечетных дзета-значений
1.3. Асимптотика линейных форм
Глава 2. Интегральные конструкции линейных форм
от дзета-значений
2.1. Основной результат и следствия из него
2.2. Гипергеометрическое доказательство
Глава 3. Иррациональность д-дзета-значений
3.1. д-Арифметика
3.2. д-Гипергеометрическая конструкция
3.3. Арифметика линейных форм
3.4. Групповая структура для £9(2)
3.5. Оценки линейных форм и их коэффициентов
3.6. Мера иррациональности £д(2)
3.7. g-Аналог последовательности Апери
Глава 4. Мера иррациональности £(2)
4.1. Прелюдия: вспомогательные леммы
4.2. Первая гипергеометрическая конструкция
4.3. Арифметика и асимптотика линейных форм
4.4. Интерлюдия: гипергеометрический интеграл
4.5. Вторая гипергеометрическая конструкция
4.6. Финал: доказательство теоремы 4 и заключение
Глава 5. Оценка снизу для расстояния от (3/2)fc
до ближайшего целого
5.1. Приближения Паде биномиального ряда
5.2. Арифметические составляющие
5.3. Доказательство теоремы
5.4. Смежные результаты

Содержание

Глава 6. Решение задачи А. Шмидта
6.1. Совершенно уравновешенные ряды
6.2. Кратное преобразование Эндрюса
Глава 7. Интегральные представления Г-рядов эллиптических
кривых
7.1. ЦЕ, 2)
7.2. Общий случай
7.3. Формула Рамануджана и Ь(Е, 3)
7.4. Гипергеометрические представления
Заключительные замечания
Список литературы

Введение
Изучение сумм вида
(0.1)
при целых положительных значениях параметра 5 восходит к Л. Эйлеру [40], [41]. Он, в частности, доказал расходимость ряда в (0.1) при 5 = 1 и сходимость при в > 1, а также знаменитые соотношения
связывающие значения ряда при четных положительных в с архимедовой постоянной 7г — 3.14159265... (см. [43, § 1.4]) и числами Бернулли В3 £ <13; последние могут быть определены с помощью производящей функции
В 1882 году Ф. Линдеман [68] доказал трансцендентность числа я и, тем самым, трансцендентность £(s) для четных s.
Лишь веком спустя после Эйлера Б. Риман [91] рассмотрел ряд в (0.1) как функцию комплексного переменного s. Этот ряд представляет в области Res > 1 аналитическую функцию, которая может быть продолжена на всю комплексную плоскость до мероморфной функции £(s). Именно это аналитическое продолжение и ряд важных свойств функции £(s) были открыты Риманом в его мемуаре о простых числах. Дзета-функция Римана и ее обобщения играют неоценимую роль в аналитической теории чисел [122], [55], но тематикой настоящей диссертации является изучение арифметических и аналитических свойств значений эйлеровых сумм ((s) в (0.1) при положительных s > 1 и обобщений этих чисел. Для краткости мы будем называть величины
при целых положительных й дзета-значениями, а также четными и нечетными дзета-значениями в зависимости от четности в.

для к = 1,2,3
(0.2)
с с с с с к Ol II с с с р II
Sis Si p si s SP р р р SP
SIS в с 00IW із ооїм Із Sk is OOIW ё
с С с с с - с с
p Sis р Si ¥ Р р р
513 с I-Hgj 5ІЗ SK Із sb із 513 ё
«1* с с с с с с с
Si p Sis Si 5lw si Р р р
із із із із Oil»-* 3b із Із £»|м
с Sis с Sis с Р с si С si с SP с р с р С ¥
із с wim зь із Sb Із із із 5!з
с с с с с с с
Зі sis si p si Si р si р
~4|м WIM із із WIM Із 3b із МІМ ё
С с с с с с с с
Sis Si Sk Sis Si si р SS р
“ІЗ із °ІЗ Із Ж Із із ё ё
с с с с с і 1 с с с
Щ Si siè Sis SK si р р р
із SÏÏ зіз 5b <0|м із WIW WIM