Малые абелевы группы

• Автор: Гердт, Ирина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 66 с.

Список обозначений

1 Свойства Я-малых групп

§1. Предварительные сведения

§2. Определение и свойства Я-малых групп

2 Малые и ©-малые группы. Группы, малые относительно классов редуцированных и нередуцированных групп

§3. Малые делимые группы

§4. Малые, ©-малые и 91-малые группы

§5. 91-малые группы

3 Группы, малые относительно различных классов групп без кручения

§6. Группы, малые относительно класса групп без кручения

§7. Малые вполне разложимые группы

§8. Прямые произведения групп, малые относительно классов
узких групп
Литература

Список обозначений
В данной работе слово "группа" будет означать абелеву группу, обозначать группы будем латинскими буквами А. В Классы абелевых
групп будем обозначать готическими буквами 21, 93,
Следующими символами будут обозначаться:
Нот(Д В) - группа гомоморфизмов группы А в группу В;
Т(А) - периодическая часть группы А;
Ар - р-компонента группы А;
А/В - факторгруппа группы А по подгруппе В:
0 - прямая сумма;
П - прямое произведение;
(а, ао ап) - подгруппа, порожденная элементами ад, аг,.. -, а„;
(01, «2, • • •, ап)* ~ сервантная подгруппа, порожденная элементами
^1 ? ^2з * • * з &Пз
Ьр(а) - р-высота элемента а;
Ьа{(>)- £(а) - тип элемента а группы без кручения А;

Хл(а), х(а) - характеристика элемента а группы без кручения А;
г(А) - ранг группы А;
г0(А) - ранг без кручения группы А;
Z(p°°) - квазициклическая р-группа (группа типа р°°);
Q - полная рациональная группа;
Qp = {тп/п | п Є N,m Є Z, (n,p) = 1}.

Теорема 6.2. Следующие условия для группы О эквивалентны:
1) (3 - 2-малая группа.
2) Любая факторно . ограниченная подгруппа группы (3 является
2.-малой группой.
3) Некоторая факторно ограниченная подгруппа группы б? является 2-малой группой.
4) Любая подгруппа конечного индекса группы О является 2-малой группой.
5) Некоторая подгруппа конечного индекса группы С является 2-малой группой.
Доказательство. 1) =ф- 2). Пусть С - Т-малая группа и А
произвольная факторно ограниченная подгруппа группы Д. Пусть р
гомоморфизм группы А в группу ф Д, где Bi £ 2 для всякого г £ I

группы А найдется натуральное число т такое, что тС С А. Рассмотрим сужение р гомоморфизма р на тС, то есть р — р[тс- Эпиморфный образ ?пС группы О является £-малой группой (лемма 2.2). Значит, существует конечное подмножество д С / такое, что р{тО) С ф Д. Тогда т(рА)
ге а
р{тА) = р{т,А) С ф Д.
г€Л
Так как всякая группа Д (г € I) является группой без кручения, то рА с ф Д, и поэтому А - Т-малая группа.
гб.
2) 3). Очевидно.