Периодические группы, насыщенные заданными множествами конечных групп

• Автор: Тухватуллина, Ляйсан Ринатовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 68 с.

Содержание
Введение
1 Используемые результаты
1.1. Определения и элементарные сведения
1.2. Группы с инволюциями
1.3. Сведения о конечных простых неабелевых группах
1.4. Группы, насыщенные конечными простыми подгруппами
2 Группы, насыщенные конечными простыми группами £/з(2")
3 Периодические группы, насыщенные различными классами групп
3.1. Группы, насыщенные конечным множеством конечных простых неабелевых групп
3.2. Периодические группы, насыщенные полудиэдрами группами
Список литературы
Публикации автора по теме диссертации

Введение
При изучении бесконечных групп естественно выделять и изучать классы групп с различными условиями конечности (периодичность, локальная конечность и т.д.). Изучение групп с разного рода условиями конечности началось еще в школе О.Ю. Шмидта (30-40-е годы). Это было связано с попытками обобщить на бесконечные группы некоторые результаты по конечным группам. Каждое условие само по себе или в сочетании с другими представляет собой крупное направление теории групп. За последние десятилетия в теории бесконечных периодических групп решены многие проблемы, предложены различные конструкции периодических групп, построено много серий примеров.
История периодических не локально конечных групп начинается с работы П.С. Новикова и С.И. Адяна [26], в которой доказана бесконечность свободной бернсайдовой группы В(т,п) периода пет порождающими при т > 2 и достаточно большом п. В период между анонсом П.С. Новикова и развернутой публикации [26] Е.С. Голод для каждого простого числа р построил конечно порожденную р-группу неограниченного периода [9]. В класс периодических не локально конечных групп попала и построенная А.Ю. Ольшанским [30] бесконечная группа, которая порождена двумя элементами простого нечетного порядка р и любая собственная ее подгруппа имеет порядок р. Здесь следует также отметить группы Р.И. Григорчука [12], конструкцию В.И. Сущанского конечно порожденных р-групп подстановок неограниченного периода [39], теорию групп преобразований однородных деревьев A.B. Рожкова [31], пример Лысенка [22]и Иванова [57] группы В(т,п) четного периода п.

Все эти конструкции периодических не локально конечных групп обладали характерной особенностью — они не содержали конечные простые неабелевы группы. Естественно возник вопрос:
Существовуют ли простые периодические не локально конечные группы, содержащие конечные простые неабелевы подгруппы?
В русле попыток решения этого вопроса появилось понятие насыщенности группы некоторыми системами конечных групп, введенное в 1993 г. А.К. Шлёпкиным [43].
Группа (7 насыщена группами из множества ЯЛ, если любая конечная подгруппа из (? содержится в подгруппе, изоморфной некоторой группе из ЯЛ. Пусть группа (7 насыщена группами из некоторого множества ЯЛ, и для любой группы X € ЯЛ в (7 найдется подгруппа Ь, изоморфная X. В этом случае будем говорить, что б насыщена множеством групп 901, а само множество ЯЛ будем называть насыщающим множеством групп для С.
Примеры периодических не локально конечных групп, насыщенных заданными множествами конечных групп, хорошо известны. Так, из основного результата работы [3] следует, что если X — конечное множество неедииичных конечных групп нечетных порядков, содержащее циклическую группу порядка п > 665, то существует бесконечная простая периодическая группа (Т, для которой X — насыщающее множество. Для нечетных чисел п, больших Ю10, есть более удивительные примеры А.Ю. Ольшанского. В работе [30] (следствие 35.3) показано, что существует простая группа Шмидта (7, т.е. бесконечная группа, все собственные подгруппы которой конечны, в которую вложима любая конечная группа нечетного порядка. Используя другие результаты А.Ю. Ольшанского, можно показать, что для любого конечного или счетного множества X, состоящего из конечных групп нечетного порядка и содержащего циклическую группу
Доказательство. Как показано в предыдущей лемме, А = 5/Д - локально циклическая группа. Следовательно, В - локально конечна по теореме Шмидта. И более того, она счетна. Действительно, т.к. А - локально циклическая группа, то она является объединением возрастающей цепочки циклических групп, каждая из которых конечна. Объединение конечных групп - счетно. Т.е. можно считать, что
А = {ацД, а2Д, ацД, а*+Д .} (*)
Пусть х, у — два различных элемента из Z(S). По условию насыщенности конечная подгруппа (х,у) С К с. О и К ~ С/з(2т). Пусть Дк — силовская 2-подгруппа группы К и В к = Дк X IIк — подгруппа Бореля из К. По предложению 12 Нц действует транзитивно на множестве 2ДД), т.е. в Нк найдется такой элемент /г, что х'1 = у. Из леммы 5 вытекает, что /г £ ЛД) и следовательно, /г = заг для некоторого я £ Д. Но тогда хн = ж6“’ = ха' — у. Отсюда можно сделать вывод, что #(Д) = {жа,|аг £ А}, а так как А счетная группа, то и 2ДД) — счетная группа.
Рассмотрим фактор-группу Д = Д/Д(Д). Покажем, что при действии группой А на Д имеется не более 3-х орбит. Предположим обратное и пусть
3-{з?}и{з£}и{з£}и{<г?}
Рассмотрим конечную группу (.41, >5з, 4), где вг представители
смежных классов зг, г = 1,4 соответственно. Тогда конечная подгруппа («1, «2,531 $4) С К ~ Нз(2т), К С (3. Пусть Д# — силовская 2-подгруппа группы К, содержащая подгруппу (вт, яг, $з, £4) и В к = Дк ХЯ«- — группа Бореля из 1Т. По предложению 12 Нк — (/г.) и /г. £ АД#), т.е. /г = аД, где Д € Д, а — представитель некоторого смежного класса из (*), и
Д* е ({(51г(Д))л} и {(522(Дя))а} и {(5зг(Д/с))л})-