Полупрямые произведения моноидов

• Автор: Усенко, Виталий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1982
• Место защиты: Харьков
• Количество страниц: 89 c. : ил

Изучение алгебр того или иного класса ^ , как правило,

начинается в следующих двух основных направлениях. С одной стороны, переходя к подалгебрам и фактор-алгебрам алгебры А ,

можно изучать внутренние, структурные свойства алгебры А , а

с другой - переходя от семейств алгебр

к алгебрам, которые тем или иным способом конструируются из алгебр Д. , молено изучать универсальные, категорные свойства алгебр класса . Способ построения при этом, разумеется,
выбирается не произвольным образом. Как правило, появление способов конструирования обусловлено назревшими постребностями теории, а использование их приводит к алгебрам с некоторыми универсальны!,ш свойствами данного класса алгебр
И первый и второй пути приводят к тем большему успеху, чем больше известно о том, каким способом данная алгебра А может быть ''сконструирована" из своих подалгебр. Основная теорема о конечнопорожденных абелевых группах, теорема Ведцербарна-Артина хорошо иллюстрируют вышесказанное.
В теории групп изучение различных теоретико-групповых конструкций ведется весьма интенсивно ([1-5]) . Полученные при этом результаты находят широкое применение как для описания различных классов групп ([6-8]) , так и при изучении конкретных групп

и их представлений

До недавнего времени наиболее употребительными конструкциями в теории полугрупп являлись связки различных типов и (в меньшей мере) прямые произведения. В настоящее время эти конструкции изучены довольно хорошо (см.,например, [12-16]) . Естественно ожидать, что будет возрастать интерес и к другим теоретико-полу-групповым конструкциям и в первую очередь к тем из них, которые с одной стороны, представлены достаточно содержательными классами конкретных полугрупп, а с другой - имеют аналоги в других алгебраических категориях и, в частности, в категории групп.
Одной из таких конструкций является полупрямое произведение полугрупп. Оно представлено такими классами конкретных полугрупп преобразований, как полугруппы полулинейных и аффинных преобразований линейных пространств и естественным образом возникает кэ.к обобщение соответствующей теоретико-групповой конструкции.
В теории групп конструкция полупрямого произведения используется весьма часто (см.,например, [6, 17-19]) и к настоящему времени хорошо изучена ([20-23]). Кроме того, полупрямое произведение лежит в основе восходящей к Фробениусу конструкции сплетения групп, которая была использована в решении ряда Еажных задач теории групп ([24-2б]).
Полупрямое произведение полугрупп впервые было использовано Л.Редей [27] для распространения на полугруппы шрейеровой теории групповых расширений. Позже стало ясно, что, с одной стороны, полупрямые произведения и сплетения полугрупп довольно хорошо моделируют каскадные соединения конечных автоматов [28-30] и могут быть использованы для оценки сложности последних, а с другой - могут играть существенную роль в изучении различных типов расширений полугрупп [31,32]

Значительно возросший в связи с результатами Крона и Роудза [28-30] интерес к сплетениям полугрупп стимулировал»несомненно, и появление некоторых результатов о полупрямых произведениях полугрупп. Так в работе [33] изучаются регулярные множества в полупрямых произведениях моноидов. Регулярные множества - одно из основных понятий теории автоматов. Одно из основных понятий работ [28-30] - понятие делимости полугрупп - изучается для полупрямых произведений моноидов в [3,4]
Появились результаты, не связанные с теоретико-автоматной тематикой. Так, например, В.А. Фортунатовым [35] получена абстрактная характеристика полупрямого произведения группы и полуре-шетки. В работе [36] охарактеризована максимальная подгруппа в полупрямой произведении моноидов.
Результаты более общего характера получены в [31,37] .
Л.М.Глускин в работе [31] , в частности, доказал, что один тип универсальных плотных расширений коммутативных полугрупп исчерпывается полупрямыми произведениями таких полугрупп на их группы автоморфизмов. В [37] с помощью полупрямых произведений изучаются некоторые свойства инверсных полугрупп.
Настоящая работа посвящена изучению полупрямых произведений моноидов. Решены некоторые вопросы, связанные с описанием универсальных и внутренних свойств этой конструкции. Основные результаты работы получены при изучении конкретных полугрупп преобразований, строение которых определяется полупрямым произведением, а именно - моноида полулинейных и моноида аффинных преобразований конечномерного линейного пространства над произвольным телом.
При решении основных вопросов работы возникли некоторые чисто теоретико-группоЕые задачи. Поэтому значительная часть диссертации посвящена изучению полупрямого произведения групп.

^ р, 1*4,2 Пу
ПОЛОЖИМ
Б V = £ Ь «1 +
у Iе
р
при любом л £ г . Тогда
Юр а 1Л;1а €■ Р*
подгруппа в 61„(р) , причем
бЩСП'ЗЩСП-®,:.
51ПСР)П9Р = {БЛ6[М1
( см. [52^ , гл. П)
Так как нормальна в <Апср ) , то
из п. 1.2 следует, что полная линейная группа С 1*п (Р) является полупрямым произведением специальной линейной группы Э1. СР) И группы £)р с объединенной подгруппой
(2.Ю)
(№*] - коммутант группы Р *).
Для каждого автоморфизма Ы € Ф и каждого V - ХЛ^

полагаем
. &л&
1*1
и получаем подгруппу
ФП={£.6Г^СР] I оЕеФ! группы Г1* СП такую, что
Г^(П = С1„СР)'Ф„.
При этом, как нетрудно заметить, группа ( Р) является
полупрямым произведением групп ЭЬп(р) и Эр “Ор'Фп ' с объединенной подгруппой £)[р*] , а группа - полупрямым произведением групп Ор и Фп