Некоторые задачи, связанные с периодическими и условнопериодическими структурами

• Автор: Коломейкина, Екатерина Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 87 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Локальные условия правильности разбиений евклидовой плоскости
§1. Разбиение, основные понятия
§2. Локальные теоремы
§3. Условия правильности разбиений плоскости: теорема
§4. Комбинаторная лемма о разбиениях евклидовой плоскости
§5. Доказательство теоремы
§6. О разбиении К.Берецки гиперболической плоскости
§7. Локальные условия правильности разбиений двумерной сферы
7.1. Условие правильности разбиений двумерной сферы: теорема
7.2. Вспомогательные утверждения
7.3. Доказательство теоремы
ГЛАВА 2. Локальные условия биправильности триангуляций евклидовой плоскости
§1. Критерий биправильных триангуляций: теорема
§2. Основные понятия
§3. Доказательство теоремы
ГЛАВА 3. О невозвращаемости сумм в среднем вдоль последовательности Кронекера
§1. Задача о последовательности Кронекера: теорема
§2. Доказательство того, что из условия В следует отрицание А
§3. Основная лемма
§4. Доказательство того, что из невыполнения В следует условие А
Приложение
Список литературы

Введение
В диссертации изучаются вопросы, относящиеся к геометрии чисел. Геометрия чисел была заложена в работах Лагранжа и Гаусса, а на рубеже XIX-XX веков, благодаря работам Г.Минковского и Г.Ф.Вороного, оформилась в самостоятельную дисциплину. В геометрии чисел теоретико-числовые задачи формулируются на языке геометрии, и при их решении используются геометрические методы решения. Так, теоретико-числовая задача о максимальном значении целочисленного минимума положительных квадратичных форм от п переменных с данным определителем может быть переформулирована в геометрических терминах как задача о плотнейшей решеточной упаковке евклидова пространства Еп равными шарами. Последняя задача является одной из основных задач геометрии чисел. Другая характерная задача геометрии чисел есть задача о редчайших решеточных покрытиях евклидова пространства равными шарами.
Для нас, в первую очередь, представляют интерес такие расположения тел в пространстве, которые удовлетворяют условиям упаковки и покрытия одновременно. Такие расположения тел называются разбиением пространства. Так, одним из центральных понятий геометрии чисел является понятие па-раллелоэдра. Согласно Е.С.Федорову [45], параллелоэдр — это многогранник, который допускает разбиение пространства параллельными копиями нормальным образом, то есть грань-в-грань. В силу нормальности, разбиение на параллелоэдры обладает трансляционной группой симметрий, транзитив-но действующей на множестве параллелоэдров. Другими словами, разбиение на параллелоэдры имеет решеточное строение.
Большой вклад в развитие теории параллелоэдров внесли Г.Минковский (характеристическая теорема о параллелоэдрах и точная верхняя оценка для числа гиперграней параллелоэдра [33]), Г.Ф.Вороной (метод непрерывных параметров изучения параллелоэдров Дирихле-Вороного, алгоритм для нахождения типов параллелоэдров Дирихле-Вороного [8]), Б.А.Венков (достаточные условия параллелоэдра [7]), Б.Н.Делоне (вывод всех 4-мерных параллелоэдров [17]; элементарный «метод пустого шара» [18], который оказался полезным для изучения разбиений Вороного и Делоне), С.С.Рышков и Е.П.Барановский (вывод всех 5-мерных примитивных параллелоэдров Вороного [39]). Достижения в теории параллелоэдров принадлежат также
А.Д.Александрову, О.К.Житомирскому, П.Макмюллену, Р.Эрдалу, П.Эигелу и другим.

Обобщением понятия параллелоэдра является стереоэдр. Стереоэдр — это многогранник, допускающий такое разбиение пространства, группа симметрий которого действует транзитивно на множестве всех ячеек данного разбиения ([8], [13], [52]). Транзитивность действия группы движений означает, что произвольную ячейку разбиения можно перевести в любую другую ячейку этого разбиения посредством некоторой симметрии данного разбиения. Такое разбиение называется правильным.
Обобщением правильного разбиения является мулътиправилъпое (или т—эдралъпое) разбиение, то есть разбиение, множество ячеек которого распадается в конечное число т орбит относительно группы симметрий данного разбиения. Такое разбиение называют так же кристаллографическим разбиением. Если число орбит т = 1, то разбиение является правильным, если т = 2, то разбиение называют биправилъным. Правильные и мультиправиль-ные разбиения являются математической моделью кристалла.
Правильные разбиения и кристаллографические группы изучались в работах Е.С.Федорова, А.Шенфлиса, Л.Бибербаха, Б.Н.Делоне, Н.Н.Сандаковой,
A.Д.Александрова, М.И.Штогрина, Н.П.Долбилина, Р.В.Галиулина и других. Важные результаты по теории правильных разбиений пространства Лобачевского и их групп симметрий принадлежат Г.Кокстеру, Э.Б.Винбергу,
B.С.Макарову, В.В.Никулину, М.Н.Прохорову и другим.
Правильные разбиения являются обобщением разбиений на параллелоэд-ры в силу знаменитой теоремы Шенфлиса-Бибербаха [42], [4], [5], которая является ответом на вопрос, поставленный в XVIII проблеме Гильберта [10]. В силу этой теоремы, любая кристаллографическая группа G (дискретная группа с компактной фундаментальной областью), действующая в d— мерном евклидовом пространстве, обладает трансляционной подгруппой Т конечного индекса h = G/T. Группа симметрий правильного разбиения Т является кристаллографической группой. Поэтому множество стереоэдров (ячеек разбиения) распадается в h трансляционных орбит. Если в группе G индекс h = 1 (то есть G — чисто трансляционная группа), то разбиение, на котором G действует транзитивно, является разбиением на параллелоэдры. Таким образом, по теореме Шенфлиса-Бибербаха всякое правильное разбиение есть, объединение конечного числа решеточных упаковок евклидова пространства конгруэнтными многогранниками.
Заметим, что индекс h ограничен сверху для любой размерности d. В частности, для d — 1,3,5 и d > 10 индекс h ограничен сверху константой H(d), являющейся порядком полной группы d—мерного куба (см. [48], [49]):

б) Предположим, что Р подходит к точке А углом 7, рис. 1.21 (б). В вершине при угле (3 имеем: 2(3 + 7 = 2-к. Тогда из (4) следует, что а + 7 = 7Г, и степени сложных вершин равны 4. Полная корона достраивается однозначно, и из теоремы о полных коронах [41] разбиение является правильным. Лемма доказана.
Лемма 10. Разбиение евклидовой плоскости на выпуклые пятиугольники с N1 = 1, в котором две сложные вершины каждой ячейки находятся симметрично относительно оси симметрии ячейки, является правильным.
Доказательство.
(а). Сложные вершины — (3, (3. К простой стороне 77 ячейки Р может прилегать только сторона 77 смежной ячейки Р', так как 77 — единственная простая сторона. Из того, что угол между двумя сложными вершинами ячейки Р равен а, подсчет углов в простой вершине при угле 7, рис. 1.22 (а), дает а+ 27 = 360°, тогда из суммы углов пятиугольника имеем (3 = 90°. Поскольку в сложных вершинах сходятся только углы (3 и (3 = 90°, то степень каждой сложной вершины равна 4. В простой вершине пятиугольника Р при угле а корона достраивается по конгруэнтности однозначно. Таким образом, неполная корона С{Р) восстановлена, группа симметрий РДР) = В. Выполняются условия локальной теоремы, а именно: все неполные короны радиуса 1 попарно конгруэнтны и для любой ячейки Р имеем Ро(Р) = РДР) = РД Разбиение является правильным, рис. 1.22 (а').
(б). Сложные вершины — 7, 7. Легко заметить, что по полусложной стороне (З'у может прилегать только полусложная сторона (З'у, по сложной стороне 77 — только сложная сторона. Угол х при простой вершине ячейки Р", рис. 1.22 (б), как угол между двумя простыми вершинами, может быть равен только углу а. При простой вершине сумма углов: а А- 2(3 — 360°, а значит, 7 1= 90°. Так как в сложных вершинах сходятся только углы 7 и 7 = 90°, то степень каждой сложной вершины равна 4. Таким образом, неполная корона С1 (Р) однозначно достраивается, рис. 1.22 (б'), и Ро = Р1 = П. Выполняются условия локальной теоремы, по которой разбиение является правильным.