Градуированные ассоциативные алгебры: рост, гомологии, алгоритмы

• Автор: Пионтковский, Дмитрий Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 150 с.

# Оглавление

0.1 Предмет исследования:

неформальная классификация

0.2 Актуальность темы . . .'

0.2.1 Рост и проблемы рациональности . .

0.2.2 Некоммутативные полные пересечения и комплекс Шафаревича

Ф 0.2.3 Козюлевы алгебры

0.3 Общий план работы

0.4 Основные результаты

0.5 Апробация

0.6 Благодарность

Обозначения и соглашения
1 Теорема Голода-Шафаревича и сильно свободные множества
® 1.1 Предварительные сведения
1.1.1 Градуированные алгебры
1.1.2 Сильно свободные множества (подробности см. в [25])
1.1.3 Комплекс Шафаревича (подробности см. в [12, 10, 11]) . 31 - 1.2 Теорема Голода-Шафаревича и оценки на число соотношений
1.3 Об алгебре гомологий комплекса Шафаревича свободной алгебры
_1.4 Алгебра, ассоциированная с фильтрацией на свободной алгебре
1.5 Сильно свободные множества в подалгебрахл факторалгебрах . 41 . 1.6" Приложение: характеризация алгебр глобальной размерности 3

1.7 Комплекс Шафаревича для алгебр Ли
Рост и асимптотика рядов Гильберта
2.1 Мера экспоненциального роста
2.1.1 Экстремальные алгебры
2.1.2 Оценки на ряды Гильберта фактор-алгебр
2.1.3 Рост в теореме Голода-Шафаревича
2.1.4 Алгоритмическая неразрешимость проблемы распознавания экспоненты роста
2.2 Рост в фильтрованных нетеровых кольцах
2.3 Множества рядов Гильберта
2.3.1 Условие сбтТог^(£;, к) < оо
2.3.2 Ряды Гильберта конечно определенных алгебр
2.3.3 Модули и идеалы
2.4 Приложение: периодические функции Гильберта
2.4.1 Проблема рациональности для Р1 алгебр
2.4.2 Модули и алгебры линейного роста
Линейные уравнения над некоммутативными кольцами
3.1 Постановка задачи
3.2 Эффективная когерентность
3-2-1 Предположения и обозначения
3.2.2 Эффективно когерентные алгебры
3.2.3 Сильно нетеровы алгебры эффективно когерентны
3.3 Когерентные семейства идеалов
3.3.1 Алгебры с когерентными семействами идеалов
3.3.2 Ря’ды Гильберта и когерентные семейства
3.3.3 Универсально когерентные алгебры
3.4 Алгебры с ^-переработкой
3.4.1 Определение и основные свойства
3.4.2 Построение базиса Гребнера конечно порожденного правого идеала
3.4.3 Когерентность и вычисление модуля соотношений
3.4.4 Градуированный случай: универсальная когерентность
4 Козюлевы алгебры
4.1 О рядах Гильберта козюлевых алгебр
4.2 Козюлевы фильтрации
4.2.1 Козюлевы флаги
4.2.2 Некоммутативные козюлевы фильтрации
4.2.3 Изначально козюлевы алгебры
4.3 Квадратичные алгебры с общими соотношениями
4.3.1 О козюлевом свойстве общих квадратичных алгебр
4.3.2 Козюлевы фильтрации в общих квадратичных алгебрах
Литература
Пусть F = к(с degc = d >. Из неравенства рядов Гильберта
(В * F)(t) > A(t)
следует, что г(В * F) = 0.
С другой стороны,
(В * F)(t)~l = bit)-1 - dt,
где b(t) равно B(t) (соответственно, B(t) +1), если В унитарна (соответственно, не унитарна). Поскольку правая часть представляет собой функцию, аналитическую в некоторой окрестности нуля, причем значение этой функции в нуле равно 1, то в некоторой окрестности нуля ее образ не содержит 0. Следовательно, функция (В * F)(t) аналитична в некоторой окрестности нуля, откуда г(В * F) > 0. ~ □
Теорема 2.4. Пусть А — экстремальная алгебра. Тогда А первична.
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать, что для любых ненулевых однородных идеалов I и J алгебры A, IJ ф 0. Не ограничивая общности, можно считать, что J — главный идеал, порожденный элементом а некоторой степени h.
Предположим, что IJ — 0. Пусть В = А/I, С — А/ J, и А = I ® V, где V — некоторое градуированное векторное пространство. Имеем:
J = ka + Аа -Ь аА -j- АаА — ка -f- Va 4- aV -I- VaV.
Следовательно, выполняется неравенство рядов Гильберта
J{t)
A(t) - C(t) < th(B(t) + l)2.
Имеем:
A(t) Для радиусов сходимости получаем неравенство
г (А) > min {г (В), г (С)},
в противоречие с экстремальностью алгебры А. — ' □