О квантовании некоторых коммутативных подалгебр в алгебрах Пуассона

• Автор: Рыбников, Леонид Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 65 с.

Почти коммутативные ассоциативные алгебры и алгебры
Пуассона. Проблема квантования
Гамильтонова редукция и квантовая гамильтонова редукция
Гипотеза Дюфло
Две конструкции коммутативных подалгебр
Центр на критическом уровне и бесконечномерный аналог
гипотезы Дюфло
Модель Годена и конструкция Фейгина-Френкеля-Решетихина
Результаты диссертации
Доклады и публикации
Благодарности
1. Инвариантные дифференциальные операторы на однородных пространствах
1.1. Некоторые обозначения
1.2. Алгебра инвариантных дифференциальных операторов на римановом однородном пространстве
1.3. Несколько вспомогательных утверждений
1.4. Алгебра B(L, Я, а) и нилыготентные алгебры Ли
1.5. Коммутативность и слабая коммутативность
1.6. Гипотеза Дюфло
2. Максимальные коммутативные подалгебры в универсальных обертывающих алгебрах
2.1. Метод сдвига инвариантов
2.2. Центр на критическом уровне
2.3. Максимальные коммутативные подалгебры в U(g)
2.4. Коммутативные подалгебры в U(g)®n
2.5. ’’Предельная” модель Годена
2.6. Случай slr: простота спектра
2.7. Единственность подалгебр и

Почти коммутативные ассоциативные алгебры и алгебры Пуассона. Проблема квантования.
Алгеброй Пуассона называется коммутативная алгебра А с единицей, снабженная билинейной кососимметрической операцией {•,•}, удовлетворяющей тождеству Лейбница относительно умножения и тождеству Якоби. Операция {•, •} называется скобкой Пуассона. В случае, когда А есть алгебра функций на некотором гладком многообразии X, любое бивекторное поле о: на многообразии X, удовлетворяющее уравнению [а, а] = 0, задает скобку Пуассона на алгебре А. (здесь [•, •] - скобка Схоутена). Многообразие, снабженное таким бивекторным полем, называется пуассоновым.
Пример 1. Пусть (М,ш) - гладкое симллектическое многообразие. Тогда на алгебре С°°(М) имеется естественная структура алгебры Пуассона, заданная бивекторным полем оГ1.
Все алгебры Пуассона, рассматриваеме в данной диссертации связаны, так или иначе, со следующей алгеброй Пуассона:
Пример 2. Пусть з - алгебра Ли. Тогда на симметрической алгебре 5(д) имеется естественная скобка Пуассона, заданная на образующих как {х,у} = [х,у\/х,у Є д. Алгебру £(д) можно также рассматривать как алгебру полиномиальных функций на пространстве 0*. Скобка Пуассона при этом задается бивекторным полем а Є А2д*®д, равным структурному тензору алгебры Ли д. Эту скобку мы будем называть скобкой Пуассона-Ли.
Пусть В - фильтрованная ассоциативная алгебра,, т.е. на этой алгебре имеется возрастающая фильтрация В® С В'А С ... такая, что В^-В^ С #(»+Л. Положим А = gx В — ®іВ^/В^~^. Умножение в алгебре В корректно определяет умножение В^/В^~^ х В^/В^-Н1) вб+з)/вб+з-1) на
пространстве А, превращая его в ассоциативную алгебру. Фильтрованную ассоциативную алгебру В называют почти коммутативной (см. [СЬСі], п. 1.3), если алгебра А = grB коммутативна.

Если В - почти коммутативная фильтрованная ассоциативная алгебра, то на (коммутативной) алгебре А = grB естественным образом возникает скобка Пуассона. А именно, пусть / Є А1 = и
д Є А/ = Вб)/Вб-1) и пусть / Є В-г) и g Є В^ - какие-нибудь их представители в алгебре В. Так как алгебра В почти коммутативна, то коммутатор fg — gf этих представителей лежит в В^~1 причем его проекция gri+j-i(/5 - 9f) Є Ai+J_1 = b6+J_1)/b6+A2)
не зависит от выбора представителей / Є Вб) и д Є В^К Таким образом, получается билинейная кососимметричная операция {•, •} : А1 х А3 -> Аг+3~1. Простая проверка показывает, что эта операция удовлетворяет тождеству Лейбница относительно умножения и тождеству Якоби.
Класс почти коммутативных алгебр содержит много интересных примеров.
Пример 3. Пусть В = D(X) - алгебра дифференциальных операторов на гладком многообразии X. На алгебре D(X) имеется фильтрация

D(X) = 1J В(Х)(П) по порядку дифференциального оператора. Соответ-

ствующая градуированная алгебра gr D(X) есть алгебра Р(Х) функций на кокасательном расслоении Т*Х многообразия X, полиномиальных на слоях, причем изоморфизм осуществляется взятием символа дифференциального оператора. Скобка Пуассона, возникающая таким образом на алгебре В(Х), совпадает со скобкой, индуцированной естественной симплектиче-ской структурой на многообразии Т*Х.
Пример 4. Пусть 0 - алгебра Ли. Универсальная обертывающая алгебра U (о) имеет естественную фильтрацию по степени выражения через образующие. По теореме Пуанкаре - Биркгофа - Витта ассоциированная градуированная алгебра есть симметрическая алгебра S(g). Проверка на образующих показывает, что получающаяся скобка на В(д) совпадает со скобкой Пуассона-Ли.
Почти коммутативную алгебру В можно рассматривать как деформацию коммутативной алгебры А = gr В. Формальной деформацией ассоциативной алгебры А называется такое С[[Щ]-линейное ассоциативное умножение * на пространстве А[[Н], что
/*3 = fg mod, К 4f,g Є А.
Если алгебра А коммутативна, то любая ее формальная деформация задает на ней структуру алгебры Пуассона:
{/,д} = h~f*g-g*f) mod h.

Иначе говоря,
{д 0 Гт) 0 1 И- 5_iim 0 д, 10#H-O Уде д.
Лемма 11. Подалгебра Л(г, оо) С Е/(д) <8> <5(д) порождена элементами
{ Доказательство. Заметим, что
(id<8>^оо о Д)(öfn5fc) = (expE)(d?Sk) G £%-) ® 5(g).
Так как элементы 5^ однородны относительно tdt, то указанные элементы (<дг 0 id)(-B'?(5jt 0 1)) суть коэффициенты ряда Лорана функций Sk(w) — 4>w-z,oo{Sk) — Рассмотрим g-инвариантное дифференцирование е алгебры 5'(g)05'(g), заданное на образующих следующим образом:
е( 1) = 1 ® 5, е(10£г) = О. (2.12)
Очевидно, что для любого / е <5'(д) выполнено (id ®ц) о е; (/ 0l) = $/. Заметим теперь, что
gr(p, 0 id)(^'(5fc 0 1)) = 0 1) G %) 0 S^s),
так как grü*, = *_i($*). Отсюда
gr(id 0ц) о (<^2 0 id) (ЕДЗк 0 1)) = ^~deg$*+i)d^ Но элементы дДФД порождают подалгебру Л^. Отсюда имеем gr/ф 0 Л/{. Так как элементы д^(ФД алгебраически независимы (факт 4), а из леммы следует, что элементы (id0/1) о (ipz 0 id)(£’;(S'fc 0 1)) порождают алгебру то giA^ = Aß. □
2.4. Коммутативные подалгебры в Z7(ß)®n.
Теперь рассмотрим более общую конструкцию. Пусть U(g)®n - тензорное произведение п копий универсальной обертывающей алгебры U(д). Мы будем обозначать через д^ подпространство 10---010д010---01 С t/(g)®n, где g стоит на г-ом месте. Соответственно, для элемента и <Е U(д) мы положим
и® = 10---010ц010---01£ J7(g)®r (2.13)