Проблема Варинга с почти равными слагаемыми для пятых степеней

• Автор: Назрублоев, Насруло Нурублоевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 72 с.

Оглавление
Обозначения
Введение

1 Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля в множестве точек первого класса

1.1 Вспомогательные леммы

1.2 Поведении коротких тригонометрических сумм Г. Вейля, в множестве точек первого класса

2 Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля пятой степени

2.1 Известные леммы

2.2 Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля, в множестве точек второго класса

2.3 Среднее значение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля

пятой степени

3 Асимптотическая формула в проблеме Варинга для пятых степеней с почти равными слагаемыми
3.1 Основная теорема
3.2 Доказательство основной теоремы
Литература

Обозначения
При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются двумя индексами: номер главы, номер утверждения;
сі съ с2, • • • і - положительные постоянные, не всегда одни и те же;
е(а) = е2пга = cos 2па + і sin 2жа;
є - произвольное положительное число, не превосходящее 0.00001, т(п) - число делителей числа п;
[ж] - целая часть числа х;
{ж} - дробная часть числа ж;
II ж II = min (< ж},1 - {®}) - расстояние до ближайшего целого числа;
(о, Ь) - наибольший общий делитель чисел а и 6;
запись A В или А = О(В) означает, что существует с > 0 такое, что
А <сВ
N > N0 - натуральное число, «S? = ln TV;

Введение
Настоящая диссертация является исследованием в аналитической теории чисел, относящимся к области аддитивной теории чисел. Основной задачей аддитивной теории чисел является вопрос о представлении некоторой последовательности натуральных чисел суммой ограниченного количества слагаемых заданного вида. Исторически первыми примерами подобных задач стали:
• тернарная проблема Гольдбаха (1742 г.) о представлении нечетных чисел суммой трех простых слагаемых и проблема Эйлера (1742 г.)(или бинарная проблема Гольдбаха) о представлении четных чисел в виде суммы двух простых;
• теорема Лагранжа о представлении натуральных чисел суммой не более четырех квадратов натуральных чисел и её обобщение, предложенное Варингом [1] в 1770 г., которое утверждает, что последовательность, образованная фиксированной степенью п чисел натурального ряда, образует в нем базис конечного порядка G(n), то есть каждое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде
хї + х% + ... + xnr = N, (1)
где Х, х2, ■ ■ ■, хг — натуральные числа и количество слагаемых г не превосходит фиксированной величины G(n), называемой порядком базиса последовательности {тп}, или функцией Харди;
• поставленная в начале 19-го века проблема о том, что фиксированная степень п простых чисел р при любом натуральном п образует базис
получим
}¥(к,г,1)2 <
Е Е е(60аЫ(/3(п) - /3(т)))
х—у<т<х~к—г—1 т<п<х~к—г~

Е - Е е(60аЫ(/3(п) - /з(гтг)))
х—у<т<х—к—г—Ь 0<п—т<х—к—ч—Ь—т
Е Е е(60аЬ-г(/3(т + и) - /3(т)))
х—у<т<х—к—г—Ь 0<и<х—к—г—1~т
е(60акг1(к + г + £)«) е(120а£т£тп)
0<и<у—к—г—1 х—у<т<х—к—г^—и

0<Си<.у—к—г—1;
УУ е(120аА;г^ш) х—у<т<х—к—г^—и
+ 2 у.
+ 2у =

+ 2у =
+ 2у< (2.4)
Последовательно подставляя в (2.1) значений 1У(А:), 1К(&, г) и 1К(/с, г, 4) соответственно (2.2), (2.3) и (2.4)и каждый раз воспользовавшись соотношением (а + 6)2 < 2а2 + 262 и неравенством Коши, найдем
|Г(а;Ж,у)|16<217у7 Е |Ж(А:)|8 + 217у8 <
О <к<у
<2V Е (^2 Е |1К(/с,г)| + 2^ + 21 V <
О<к<у V 0<г<у~к

<217у7 Е 8 Е ] +8У‘
О<к<у <г<2/—к
+ 217у8 <

< 223у7 Е У 1И/(^>Г)12 + У2 +217у8 <
О<к<у у 0<г<у—к /
<22УЕ ( Е (2 Е Ж(к,г,г) + 2у +у ) + 217у8 <
О<к<у у О<г<у—к у 0<1<у-к-г )