Мономиальность и арифметические свойства конечных групп

• Автор: Федоров, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с.

Оглавление
Введение
Обозначения, определения и общие сведения
Глава I СВОЙСТВО МОНОМИАЛЬНОСТИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
§ 1 Определения
§ 2 Класс .М-групп
§ 3 Подгруппы .М-групп
§ 4 Минимальные не-Л4-группы
Глава II Квазифробениусовы ЛФгруппы
§ 1 Предварительные сведения
§ 2 Свойства квазифробениусовых групп
§ 3 Признаки мономиальности группы Фробениуса
§ 4 Условия мономиальности квазифробениусовой группы
§ 5 Мономиальность и арифметические свойства
групп Фробениуса
Глава III Мономиальность групп с некоторыми
арифметическими свойствами
§ 1 Классы сопряженности и нормальные подгруппы
§ 2 Граф классов сопряженных элементов
§ 3 Степени неприводимых характеров
Приложение
Цитированная литература

Введение
В теории конечных групп существует область исследований, направленных на получение абстрактных свойств групп исходя из информации об их представлениях или характерах. Изучением структуры конечной группы в зависимости от свойств их характеров занимались такие математики, как Р. Брауэр, У. Бернсайд, М. Судзуки, Б. Хупперт, М. Айзекс, Л. Дорн-хофф, Э. Дейд и др. Примером применения соответствующих методов являются доказательства теорем Фробениуса, Бернсайда (о разрешимости {р, Д-групп), Фейта — Томпсона (о разрешимости групп нечетного порядка) и т. д.
Таким образом, обладая, с одной стороны, информацией о характерах группы с заданными свойствами, а с другой стороны — некоторым описанием структуры группы на основе данных о характерах, можно использовать теорию характеров на промежуточных этапах в выводе результатов о строении самой группы, формулировки которых могут быть чисто теоретикогрупповыми.
В связи с этим небезынтересным представляется такой частный вопрос, как поиск условий, при которых все неприводимые характеры группы имеют одно и то же определенное свойство. Именно, интересующим нас в данном контексте свойством является мономиальность: характер группы называется мономиальным, если он индуцирован характером степени 1 некоторой подгруппы.
Цель настоящей диссертации — исследовать вопрос о мономиальности групп (т. е. мономиальности всех их неприводимых характеров) из некоторых классов и найти условия, главным образом арифметического вида, обеспечивающие наличие этого свойства у группы.
Впервые термин «мономиальная группа» использовал Генрих Машке [32] еще в конце XIX века, правда, применительно к подстановочным группам специального вида (фактически, так он назвал группы, состоящие из мономиальных матриц, т. е. матриц с единственным ненулевым элементом в каждой строке и каждом столбце). Мы же будем называть мономиальными (или АФгруппами) именно группы только с мономиальными неприводимыми характерами, как было сказано выше. Связь этого понятия с мономиальными матрицами состоит в том, что каждое линейное представление АФ группы (в некотором базисе пространства представления) имеет матрицы только такого вида. Последнее условие является не только необходимым, но и достаточным.
По-видимому, первым подходом к изучению АФгрупп следует считать работу Ганса Фредерика Блихфельдта [12] 1904 года, где, по сути, доказано, что примарные группы мономиальны. Основополагающим же в этой теории стал опубликованный двадцатью шестью годами позже результат Киёси Такеты [37]: было показано, что мономиальные группы разрешимы. С тех пор началось более или менее активное изучение свойств АФгрупп, особенно в том, что касается достаточных условий мономиальности.
Однако подобные исследования столкнулись с определенными сложностями. В 1952 году Нобору Ито [28] показал, что подгруппы АФгрупп не обязаны быть мономиальными. Более того, в конце 1960-х годов — в период, пожалуй, наиболее интенсивного изучения АФгрупп — Эвереттом Дейдом было доказано, что любая конечная разрешимая группа может быть вложена в АФгруппу той же производной (нильпотентной, сверх-разрешимой) длины (см. [36]) и с тем же множеством простых делителей ее порядка. Этот результат показывает, насколько велик класс мономиальных групп и как трудно отделить их от других разрешимых групп и получить их общую теоретико-групповую характеризацию. Однако и после этого попытки выяснить структуру АФгрупп продолжались.

Лемма 2.3.3. Если С — сверхразрешимая группа Фробениуса, то ее дополнение Н — циклическое.
Доказательство. Согласно [3, 19.2.2], коммутант сверхразрешимой группы нильпотентен, поэтому С Р{0)- По предложению 2.2.2, N = = Р(С), откуда Н' < С N. Значит, Н' Н П N = 1, т. е. Н абелева. По свойству (1) предложения 2.1.4, Л —абелева -группа, следовательно, она циклическая. □
Пусть С — группа Фробениуса, а Н — ее дополнение. Схема ниже представляет связь свойств групп Си Н (верхняя строка соответствует С, а находящиеся ниже — к ее дополнению Н).
п- — сверхразрешимая —у Л4-группа -в- Л4-группа —> разрешимая сверхразрешимая -В- М.-группа В Л4-группа -> разрешимая

метабелева

метацикличе ская

нильпотентная

абелева

В циклическая
Обозначения такие же, как в схеме на с. 19. Приведем примеры, подтверждающие отсутствие стрелок между некоторыми элементами схемы.
С Л4-группа Ф С сверхразрешима:
Группа Фробениуса С = Р5Х(2,3) мономиальна вместе со всеми своими подгруппами (|С| < 24), но, как известно, несверхразрешима.
С разрешима Ф С — А4-группа,
Н разрешима Ф Н — М.-группа: