Гипотеза Гротендика о главных однородных пространствах для некоторых классических алгебраических групп

• Автор: Зайнуллин, Кирилл Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 85 с. : ил.

Оглавление

Введение
Глава 1. Рациональная инъективность для функторов е трансферами
§1. Некоторые факты из коммутативной алгебры
§2. Формулировка основной теоремы для постоянного случая
§3. Лемма о специализации
§4. Версия трюка Квиллена
§5. Доказательство основной теоремы для постоянного случая ... 24 §6. Формулировка и доказательство основной теоремы для общего (непостоянного) случая
Глава 2. Приложения: Доказательство гипотезы Гротендика
для ЭГщд и ЭЦцд
§1. Формулировка результатов
§2. Свойства алгебр Адзумая
§3. Когомологии
§4. Доказательство линейного случая
§5. Ортогональный и симплектический случай
§6. Доказательство унитарного случая
§7. Случаи с кручением
Глава 3. Норменный принцип для унитарной группы
§1. Доказательство включения 11(Д) С Д*1-сг
§2. Доказательство равенства ]Мгс1(.Д*1-'т) = №с!(и(Д))
§3. Доказательство существования обратимого элемента
Глава 4. Случай локального регулярного кольца содержащего поле
§1. Теорема Попеску
§2. Доказательство теоремы І
Основные результаты
Литература

Введение
В 1968 году А. Гротендик предложил следующую гипотезу [15]:
Гипотеза. Пусть К — полу локально с регулярное кольцо геометрического типа, т.е., Я является локальным кольцом точки гладкого аффинного многообразия. Пусть (7 — некоторая редуктивная плоская групповая схема над Я.
Тогда ядро гомоморфизма Н(Я,С)—> Н}А {К, С к), индуцированного каноническим включением кольца Я в его поле частных К, три-I виально.
С тех пор на протяжении более 30 лет эта проблема вызывает повышенный интерес как в силу своей фундаментальности, так и далеко идущими последствиями для различных областей математики.
Заметим, что множество Н}л (Я, С) классифицирует главные однородные пространства группы С над Я. Другими словами гипотеза Гротендика утверждает, что если главное однородное пространство группы С над Я тривиально над полем частных К, то оно само тривиально. Например, для случая ортогональной группы главные однородные пространства находятся в биективном соответствии с квадратичными пространствами над Я, и гипотеза Гротендика приобретает вид утверждения относительно квадратичных форм:
Утверждение. Для любого квадратичного пространства д над Я, если пространство qк над К гиперболично, то само д гиперболично.
В 1987 гипотеза Гротендика была доказана для торов в работе Ж,-Л. Колье-Телена и Ж. Сансака [13]. Некоторые частичные результаты в решении этой проблемы были получены М. Оянгуреным [20], [21], Е. Ницневичем [18], [19], Р. Парималой, Р. Шридхараном [12], М. Ростом [30] и другими.

ГЛАВА
ПРИЛОЖЕНИЯ: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ГРОТЕНДИКА ДЛЯ БЬ1Л И
Данная глава состоит из семи параграфов: В §1 мы формулируем основные результаты и приложения теории функторов с трансферами разработанной в предыдущей главе. Следующие два параграфа,§2 и §3 посвящены определениям алгебр Адзумая и когомологиям соответственно. В §4 мы доказываем специальный линейный случай гипотезы Гротендика, а в §6 — специальный унитарный случай. §5 содержит элементарное доказательство специального ортогонального случая вышеупомянутой гипотезы. В последнем параграфе мы обсуждаем случаи с кручением.
Мы сохраняем все предыдущие обозначения и соглашения.
Пусть А — гладкая алгебра над бесконечным полем к, и пусть і? является локальным регулярным кольцом алгебры А в простом идеале р С А. Пусть К обозначает поле частных кольца і?.
В этой главе мы рассматриваем примеры функторов $ из категории А-алгебр в категорию абелевых групп. Задача состоит в том, чтобы показать, что такой функтор удовлетворяет аксиомам С, ТЕ, ТА, ТВ и Е (§2, §6, гл.1). Тогда мы можем применить нашу основную теорему (см. теорема 6.2, гл.1), и установить йнъективность отображения -А Ъ(К) (см. пункты (а) теорем этого раздела). Затем, используя
1. Формулировка результатов