Решетки правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов

• Автор: Пургин, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 79 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Дистрибутивность решеток операторов, в факторизациях которых отсутствуют параметры
1.1 Определения и вспомогательные факты
1.2 Вложимость Мз в интервал высоты
1.3 Условие дистрибутивности решетки правых делителей ЛО-

2 О дистрибутивных решетках правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов
2.1 Определения и вспомогательные факты
2.2 Комбинаторные вопросы теории факторизации ЛОДО
2.3 Алгоритм построения дистрибутивной решетки по ч. у. множеству ее неразложимых в объединение элементов
2.4 Любая конечная дистрибутивная решетка, является решеткой правых делителей некоторого ЛОДО
3 Алгебраические свойства решеток правых делителей ЛОДО в случае, когда все факторы перестановочны

3.1 Определения и вспомогательные факты
3.2 Геометричность и другие алгебраические свойства ретиет-
ки Гр в случае, когда все факторы перестановочны
3.3 Структурная теорема в случае, когда все факторы перестановочны
Приложение
Список литературы

Введение
Теория решеток развилась из приложений частично упорядоченных множеств в 30-ые годы 20 века к геометрическим и алгебраическим свойствам (решетки подпространств, подмодулей, подгрупп). Один из создателей теории решеток О. Оре применял решетки в вопросах, связанных с делителями в некоммутативном кольце линейных обыкновенных дифференциальных операторов [26]. Данная диссертация посвящена приложениям общих результатов теории решеток к решеткам правых делителей линейных обыкновенных дифференциальных операторов.
В последнее время алгоритмические вопросы теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений получили значительное развитие. Некоторые из ранее полученных алгоритмов нахождения элементарных решений и решений, выражающихся в квадратурах, были реализованы в имеющихся системах компьютерной алгебры Maple, Mathematica, Reduce в виде больших прикладных пакетов. Продолжается как теоретическое исследование алгоритмов решения отдельных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, так и их реализация (см. [1], [20]—[26], [28]—[29]). Для решения конкретных уравнений часто полезно знать, как устроено множество правых делителей данного линейного обыкновенного дифференциального оператора (ЛОДО).

Р и /32 неперестановочны, а на рисунке 7 — когда факторы перестановочны, но несходны, т. е. в факторизациях отсутствуют параметры, и поэтому по теореме 1.3.1 эта решетка дистрибутивна и является решеткой 22.
Каждому отрезку на диаграмме Хассе, соединяющему элементы (р) и (Р,+|), поставим в соответствие фактор р. Каждой вершине соответственно правый делитель (Р) оператора Р.
- Р о Р2 = (Р)

о Л> = <Р2)

Рис. 6 Решетка 3.
Минимальный элемент 1 этих решеток — это фактор нулевого порядка, т. е. константа из дифференциального поля К = С(х).
Определение 14. [15, стр. 152] Порядковый идеал частично упорядоченного множества М есть такое подмножество I ч. у. множества М, что если х & I и у х, то у £ I.
Нетрудно показать что решетка 7(М) порядковых идеалов частично