Мультипликативная структура когомологий для алгебр Лю-Шульца

• Автор: Косовская, Надежда Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 117 с.

Глава 1. Алгебры Йонеды для алгебр Лю-Шульца

1.1. Вспомогательный результат

1.2. Формулировка теоремы 1.2.1 — описание алгебры Йонеды

1.3. Резольвента

1.4. Образующие и соотношения

1.5. Окончание доказательства теоремы 1.2

Глава 2. Алгебры когомологий Хохшильда

для алгебр Лю-Шульца

2.1. Формулировка теоремы 2.1.1 — описание алгебры

когомологий Хохшильда

2.2. Бимодульная резольвента У. . . (36

2.3. Аддитивная структура кольца когомологий
2.4. Произведение Йонеды в ННп(і2^)
2.5. Образующие и соотношения
2.6. Окончание доказательства теоремы 2.1
2.7. Вычисление размерностей сйт# ННга(Л^)
Список литературы

Когомологии алгебр играют фундаментальную роль в теории представлений конечных групп и конечномерных алгебр. В настоящий момент теория (обычных) когомологий групп — уже сложившаяся ветвь современной алгебры. Кольца когомологий групп исследовались различными авторами, и в этой области имеется множество результатов (см., например, [15]). Алгебра Йонеды является естественным аналогом кольца когомологий групп. Напомним понятие произведения Йонеды и его взаимосвязь с известным Ы-произведением в Н*(С, К).
Пусть Я — произвольная конечномерная А-алгебра. Для Я-модулей М, N любой элемент (р 6 ЕхЬп(М, А), т > 1, может быть представлен точной последовательностью
О ->• N Хт -у Х -у М ч- 0.
На последовательностях такого вида вводится отношение эквивалентности, а также согласованная с ним операция сложения (см., например, [14])
0 —У Ь —у Уп —у ••• —у У( —у N —у
точная последовательность, представляющая элемент ф € Ех^А, А), п > 1, то произведение Йонеды фо1р определяется как элемент группы расширений ЕхЬ^+п(М, Ь), представленный точной последовательностью
0 —у Ь —у Уп —у • • • —у Хт —э- • • • —у X) —у М —у 0.
Если же п = 0, то группа расширений Ех1д(А, Ь) = НогпДА, Ь), и ф о р определяется как элемент ф*(р) € Ех^(М,Ь), где ф*: ЕхЬ%(М, А) -у ЕхЬх(М,Ь) — гомоморфизм, индуцированный ф; аналогично определяется фор> при тп = 0. Очевидно, такое произведение ассоциативно.

Если М = N = Ь, то на множестве £(М) = 0т^оЕхЬ^(М,М) с помощью описанного произведения Йонеды вводится структура АГ-алгебры, и £(М) естественным образом превращается в градуированную К-алгебру с единицей 1 £(м) — г&м € Нотц(М,М) = ЕхЬ°н(М,М). Её называют Ех^ алгеброй модуля М.
Если Я — базисная К-алгебра с радикалом Джекобсона J(R), то Ех^ алгебра £ (К/3(11)) называется алгеброй Йонеды алгебры Я] ее будем обозначать через У (Я).
Пусть теперь Я = Кй — групповая алгебра. Если М, М', N и АГ' — КО-модули, то хорошо известно и-произведение
и: Ех$с(М, М') х Ех^0(А, АГ) -> Ех^п(М 0 И, М'0 И')
и его взаимосвязь с произведением Йонеды: если у 6 Ех^с(М, М'), ф 6 Ех«6.(Л-,Л")
<р 0€ Ех^с(М 0 Л'7, М' ® АГ;),
® ф 6 Ех^с(М <8> ЛГ, М ® Я'), и <р и ф = (<р 01с1лг') о (дм 0ф) £ ЕхЬкдп(М 0 А', М' ® И')
(см., например, [14, 16]). В частности, если М = М' = N = АГ' = К, где К — тривиальный КС-модуль, то и-произведение в кольце когомологий Н*((?, К) — 0т^.оЕхЬкС(К, К) совпадает с произведением Йонеды.
В работах Генералова А.И. были вычислены алгебры Йонеды для некоторых серий алгебр диэдрального или полудиэдрального типа из классификации К.Эрдманн [29]. В некоторых из этих работ (см. [4, 1, 2, 33]) используется диаграммный метод Бенсона-Карлсона [18] вместе с его техническими усовершенствованиями, развитыми в [4, 1]. В этом случае существенно используется возможность описания сизигий простых модулей с помощью так называемых диаграмм. Такая возможность имеется не всегда, и в связи с этим в [5] был предложен иной подход. Его существо составляет то, что на основе

Теперь если * + ] + к = п +1, то
/ 0 = (р7 + (—1)п+1РА:) ^ ^ооо1)'7’А;)
(ООО)
+ (р* + (-1)П+У)*Й1Л*1 + У + (-1)^У)ЩГ^2+
"(ООО)
(ООО)
+ [У + (-1)>‘+1)^1Л - У« + (-1)У)^-'>]*№+
+у+(-1)У+1)^Г1> - у+1+(-цу)^1"1] х2х„+ +у+(-1)У+1)4«Д - у+1 + (-чу х0х1+
(010)
п+1 „к г,(*-1>;Л)
+ [(Р? + (-1ГУ)Чоп)
(100)
+ (^+(_1)П+У)^-М) +
+ У + (-1)п+У>((;^-1)]х0Х1Ж2. (2.3.1)
Здесь и далее мы дополнительно предполагаем, что скаляры равны
нулю, если А, [г или ^ отрицательно.
Тогда условие / € Кег Ап равносильно тому, что
у+НГУУЦ*4=о,
(/ + (-1ГУ)^1Я = о, у+(-1ГУ)*^-,)=о,
У + (-ЦУУ^1'4 - (У1 + (-1)У>(гащ"4 = 0, у + (-1) у+1)^-!) - У+1 + (-1)У)^/'4 = 0, у + (-1)У+у;ЦЛЧ - У+1 + (-1)"рУ{^1Л = О, у + (-1)"+У)^'4 + у + ИГУ^.У'У
+У+(-1)”+У)*^_ч = о.
Уравнения разбиваются на небольшие независимые системы и мы сейчас поочередно их все рассмотрим.
(1) Для всех а + Ь + с = п имеем
(У + НГУ)*й = о,
У+(-1ГУ)^ = о, у + (-1ГУУ« = о.