Комбинаторно-алгебраические свойства примитивных групп подстановок

• Автор: Коныгин, Антон Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 70 с. : ил.

Оглавление
Введение. Формулировки основных результатов
1 Обозначения и вспомогательные результаты
1.1 Используемые определения и обозначения
1.2 Типы примитивных групп подстановок (теорема О’Нэна — Скотта)
1.3 Используемые свойства конечных почти простых групп
2 Асимметрические разбиения и различительные числа
для примитивных групп подстановок
2.1 Предварительные результаты
2.2 Построение минимального асимметрического разбиения для групп типа I
2.3 Построение минимального асимметрического разбиения для групп типа Ш(а)
2.4 Построение минимального асимметрического разбиения для групп типа Ш(Ь) и Ш(с)
2.5 Различительные числа для примитивных групп подстановок
2.6 Различительные числа для вершинно-примитивных графов
3 Об одном вопросе П. Камерона
3.1 Предварительные результаты
3.2 Случай групп типов I и Ш(с)
3.3 Случай групп типа Ш(а)
3.4 Случай групп типа Ш(Ь)
3.5 Случай групп типа II с цоколем, являющимся знакопеременной группой
3.6 Случай групп типа II с цоколем, являющимся простой классической группой

Литература
Введение. Формулировки основных результатов
Диссертационная работа посвящена изучению некоторых, представляющих интерес, комбинаторно-алгебраических свойств конечных примитивных групп подстановок и вершинно-примитивных графов. В ней исследуются асимметрические разбиения для конечных примитивных групп подстановок и различительные числа для вершинно-примитивных графов. Кроме того, в связи с одним вопросом П. Камерона исследуются конечные примитивные группы подстановок со стабилизатором двух точек, нормальным в стабилизаторе одной из них.
Реализуемый в диссертации подход к исследованию примитивных групп подстановок опирается на теорему О’Нэна — Скотта [18]. Согласно это теореме любая конечная примитивная группа подстановок подстановочно изоморфна группе одного из следующих типов.
I. Примитивные группы с абелевой регулярной нормальной подгруппой.
II. Примитивные почти простые группы. Напомним, что группа G называется почти простой, если Iim(T) < G < Aut(T) для некоторой конечной простой неабелевой группы Т.
III. Примитивные группы с неабелевым не простым цоколем. Среди групп этого типа различают группы типов 111(a), 111(b) и Ш(с).
Ill (a) (simple diagonal action). Пусть Sk — симметрическая группа степени к > 2, Т — простая неабелева группа и W = {(аь
111(b) (product action). Пусть Sm — симметрическая группа степени ш > 2 и Н — примитивная группа типа II или Ш(а) на конечном

рого д € Aut(T). Далее, в силу (öi, Ö2M[Mi] — [l,Si] имеем д2 G CAut(T)(si)i а в силу (g1,g2).Tr[l,s2] = [Мз] и (01,02)-тг[Мз] = [Мг] имеем д2 € CAut(T)(s2), что с учетом CAut(T)C5i) П CAut{T)(s2) = 1 влечет д2 = 1. Если 7Г = 1, то sf = Si и s3 = sf, что противоречит условию (iii). Если 7Г 1, то sf = sj"1 И S3 — (Sg1)5, что противоречит условию (iv).
Предположим, что существует элемент (öl, Ö2M S Ма такой, что (öi,Ö2).7r[l,l] = [Mi], (öi,ö2)-7r[Mi] = [1,1], (öi,ö2)-vt[1,s2] = [М2] И (öi,ö2).7t[1,S3] - [l,s3]. Если 7Г= 1, TO (öl,p2)-7T= (ö,Slö)-l, где д G Aut(T) и 32 = 1. При этом sf — s1, и s|
sf1s3, что противоречит условию (v). Если 7Г ф 1, то (öi,Ö2)-7r = (ö,Siö).7T, где д е Aut(Т) и ö2 = sjf1. При этом sf = sb öÖ-1 = sjMi и gszg-1 — S31Si- Последнее равенство можно переписать как (ösз)2 = 1, откуда уб’з € Inv(Aut((T, д))) и, следовательно, s3 е Т П ö_1Inv(Aut((T,ö}))- Противоречие с условием (vi).
Предположим, ЧТО существует элемент (öl, до)-Ti €= G{/} такой, ЧТО (öi,Ö2).7r(l,l) = [Ml], (öl,Ö2)-7r(l,Sl) = [1,1], (öl, Ö2)-7t[1, S2] = [Мз] и (öi,Ö2).7r[l,s3] = [1,52]. Если 7Г = 1, то (öi,Ö2M = (ö,Aö)-l, где ö G Aut(T) и ö2 = 1- При этом = sp1, 52 = sf1s3 и sf = s[“1s2, ЧТО противоречит условию (vii). Если 7Г Ф 1, ТО (öl, 92)-ft = (ö, slö)-l, где ö € Aut(T) и ö2 = sf1. При этом sf = S! и s3 = SiösJ1#-1, что противоречит условию (viii).
Предложение полностью доказано.
Предложение 2.16. Предположим, что Т = {si,s2} и выполняется по крайней мере одно из следующих условий:
(i) порядки jsi|, |s2|, |sf1s2| попарно различны, (s1)Aut(T)
sfut(T), (з)АЩТ) = 4Ut(T) «
|Inv(Aut(T))| + 3|sfut(T)| + 2|4ut(T)| < |T|;
(ii) |si| = 2, |s2| Ф ММ| U
|Inv(Aut(T))| + 3|sfut(r)| + 4|С'т(51)[|Ои1(Г)| < |T|;
(iii) к| = 2, „ 7Д + 2M + -L < 1;
(iv) [si| = 2, |s21 = |5]7152| u |Inv(Aut(T))| + 3|sfut(T)|+4|s2Ut(r)| <

(v) |si| = 2, [s2| = ММ|, (eä1)Aut(:r) = 4Ut(T) u |Inv(Aut(T))| + 3|sfut(r)| + 2|4ut(T)| < T;
(vi) |Sl| = 2, (s21)Aut(T) = S2Ut(r) U 7уОТ + 2ii + - < 1;