Теоретико-групповые методы исследования плоских деревьев

• Автор: Суворов, Антон Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 76 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Плоские двукрашенные деревья. Эквивалентные категории
1.1 Вложенные плоские двукрашенные деревья
1.2 Абстрактные плоские двукрашенные деревья
1.3 Многочлены Шабата и плоские деревья
1.4 Три эквивалентные категории
2 Группа вращений ребер плоских деревьев
2.1 Определение группы вращений ребер
2.2 Классификация деревьев с точки зрения групп вращений ребер
2.3 Исключительные плоские двукрашенные деревья
3 Композиция плоских двукрашенных деревьев
3.1 Три эквивалентных конструкции композиции
3.2 Группа вращений ребер плоских деревьев с нетривиальной группой автоморфизмов
3.3 Плоские деревья и неоднозначная разложимость полиномов
Приложение А. Список исключительных простых деревьев
Литература

Введение
Традиционно теоретико-групповые методы применяются для изучения комбинаторных объектов — здесь уместно упомянуть теорию графов, комбинаторную топологию. Обширные исследования связаны с различными классами графов на поверхностях, часто называемых картами, эскизами. В настоящей работе развивается теоретико-групповой подход к изучению плоских деревьев — частного случая эскизов.
В работе Александра Гротендика ’’Esquisse d’un programme” [28], написанной в 1984 г., указано вытекающее из теоремы Г.В. Белого [4] соответствие между комбинаторными объектами — детскими рисунками — и алгебраическими кривыми над числоыми полями с заданной рациональной функцией. Идеи Гротендика, высказанные в ’’Esquise d’un programme”, положили начало новому направлению исследований, иногда называемому ’’программой Гротендика”. Среди основных работ, посвященных данной тематике, можно назвать сборники [29],[26],[27], статьи [40],[41],[39].
Целью настоящей диссертации является рассматрение некоторых аспектов вышеупомянутого соответсвия Гротендика, а именно сопоставления связного одноклеточного детского рисунка на С (плоского дерева) и полинома Шабата — многочлена из С[z] с не более чем двумя критическими значениями.
Один из способов описать детский рисунок — задать на нем действие картографической группы. В настоящей работе такой подход применяется к плоским деревьям — они рассматриваются как конечные множества (ребер) с заданным действием универсальной группы вращений ребер £TZ ~ Z * Z.
Изучается круг вопросов, связанный с группой вращений

ребер плоских деревьев (см. [1],[3],[2],[8], [9]). Группа вращений ребер представляет особый интерес, поскольку она инвариантна относительно действия группы Галуа на множестве плоских двукрашенных деревьев (см. [31]).
В ряде случаев группа вращений ребер позволяет разделять орбиты Галуа. Так, для выделенных четырех деревьев с группой вращения ребер, изоморфной группе Матье М23, Ю. В. Ма-тиясевич вычислил полиномы Шабата, определенные над биква-дратичным расширением <0>.
Сейчас уже известны все деревья с примитивной группой вращений ребер (см. [3]). Естественно встает вопрос об им-примитивных группах вращений ребер, соответствующих приводимым деревьям. Работа является продвижением в этом направлении. Исследуются различные аспекты приводимости деревьев, в частности, операция композиции деревьев.
Используются различные методы и результаты теории групп и их представлений, теории когомологии групп, теории графов, теории римановых поверхностей.
Основные результаты работы:
1) Построение трех эквивалентных категорий плоских деревьев.
2) Построение деревьев с группой вращений ребер М23 и Р8Ь5(2).
3)Теоремы о группе вращений ребер плоских двукрашенных деревьев с нетривиальной группой автоморфизмов.
4)Применение классических результатов Ритта о разложимых полиномах к задаче определения порядка группы вращений ребер композиции плоских двукрашенных деревьев.
Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на па-

3 Композиция плоских двукрашенных деревьев
3.1 Три эквивалентных конструкции композиции
В соответствии с установленной эквивалентонстью категорий абстрактных плоских двукрашенных деревьев с двумя отмеченными вершинами ABVT2, вложенных плоских двукрашенных деревьев с двумя отмеченными вершинами SBVT'% и многочленов Шабата с критическими значениями —1,1 и инвариантным множеством {—1,1}, SV- хд, будут описаны три эквивалентные конструкции композиции. Описание конструкции композиции плоских деревьев приводится в соответствии со статьей [20].
Композиция абстрактных плоских двукрашенных деревьев.
Определение 3.1 Пусть Т = (F„ V0, R, Е,а%,а0, Усь уд) — абстрактное плоское двукрашенное дерево с отмеченными вершинами г»п, Уд (отмеченная вершина — выделенный цикл в перестановке а, или а0).
Обозначим Щд путь, соединяющий вершины и ж и' дерева Т. Телом дерева Т, Body(T), называется поддерево, порожденное множеством вершин
V(Body) - {у <Е К(Т)| Уп £ ууд, и уд иЩ}
Головой дерева Т, Head(T), называется поддерево, порожденное множеством вершин
V(Head) = {у € К(Г)|уд 6 уу□}