Свойства вербальных подгрупп, автоморфизмы и линейные представления некоторых групп преобразований

• Автор: Бардаков, Валерий Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 206 с. : ил.

Глава 1. ВЕРБАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ НШ-РАСШИРЕНИЙ

§ 1. Вербальные подгруппы и квазигомоморфизмы

§ 2. Ширина вербальных подгруп НИМ-расширений

§ 3. Ширина вербальных подгруп групп

с одним определяющим соотношением

Глава 2. ВЕРБАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ И ФИНИТНАЯ ОТДЕЛИМОСТЬ ПОДГРУПП В СВОБОДНОЙ ГРУППЕ

§ 1. Алгоритм вычисления коммутаторной длины

§ 2. Представление степеней в виде произведения коммутаторов

§ 3. Алгебра пар

§ 4. О разрешимости некоторых уравнений

§ 5. К Вопросу Д. И. Молдаванского о р-отделимости

подгрупп свободной группы
Глава 3. ГРУППА СОПРЯГАЮЩИХ АВТОМОРФИЗМОВ И ГРУППЫ КОС МНОГООБРАЗИЙ
§ 1. Вербальные подгруппы некоторых групп Артина
§ 2. Группа кос и группа сопрягающих автоморфизмов
§ 3. Теорема о строение группы сопрягающих автоморфизмов
§ 4. Свойства группы сопрягающих автоморфизмов
§ 5. Другие разложения группы
сопрягающих базис автоморфизмов
§ 6. Линейные представления группы сопрягающих автоморфизмов 104 § 7. Линейные представления групп кос некоторых многообразий .. 112 § 8. Точное линейное представление группы Aut(-F2)
Глава 4. ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК И АВТОМОРФИЗМЫ СВОБОДНОГО МОДУЛЯ
§ 1. Гипотезы Бреннера-Эванса
§ 2. Об автоморфном вхождении в подгруппу
свободной группы
Глава 5. ОБ ОБОБЩЕНИИ ГРУПП ФИБОНАЧЧИ И РЕГУЛЯРНОЙ ИС-ЧЕРПЫВАЕМОСТИ ГРУПП
§ 1. Группы с циклическим генетическим кодом
§ 2. Асферичность групп Gn{m,k)
§ 3. Группы с нечетным числом порождающих
§ 4. О конечности групп Gn(m, к)
§ 5. О регулярной исчерпываемости групп
Глава 6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§1.0 классификации по старшей части
дифференциальных уравнений
§ 2. Дифференциальные тождества и связи между ними
§ 3. Решение обратной задачи для матричного уравнения переноса
ЛИТЕРАТУРА

В работе исследуются группы, построенные при помощи групповых конструкций (свободные произведения с объединением, НИМ-расширения, полупрямые произведения и др), группы автоморфизмов свободных групп и свободных модулей, фундаментальные группы компактных трехмерных многообразий, рассматриваются некоторые приложения алгебраических методов
Первоначально группы появились как группы преобразований, вначале конечных множеств, а потом и бесконечных Затем стали изучать преобразования и других множеств Изучение преобразований векторных пространств привело к появлению линейных групп Позднее стали изучаться группы автоморфизмов различных алгебраических систем В последние десятилетия появились и активно изучаются классы гиперболических и автоматных групп, которые можно рассматривать как группы преобразований метрических пространств и группы преобразований слов над некоторым алфавитом [25, 32, 34, 41, 70, 93]
Изучение группы кос и группы сопрягающих автоморфизмов относится к важному направлению в подгрупповом описании группы автоморфизмов свободной группы Для вербальных подгрупп произвольной группы традиционно вызывают интерес вопросы вычисления ширины вербальных подгрупп и длины элементов относительно тех или иных подмножеств
Напомним, что вербальной подгруппой У (б) группы б относительно множества теоретико-групповых слов V называется подгруппа, порожденная множеством значений слов из V на группе С?, т е
У(б) = гр(у(дид2, ,дп(у)) II V € V, д 6 б)
(см [25, с 143]) Ширинойтдчс1(б, V) вербальной подгруппы V(С?), относительно множества слов V, называется наименьшее т е N и {+оо} такое, что всякий элемент подгруппы У (б1) записывается в виде произведения < т значений слов из У±г
и д10([а,Ь]'51'(’1) = 6 Так как элемет [а,Ъ}'Р1'ф' циклически приведен, то для всякого натурального т справедливо равенство = 6т, где с = [а, Ь]4’1'1’1
Кроме того, нетрудно проверить, что сопрягая элемент ст элементом получим С — [стТ “ Для которого qla(cl) = 6т + 3 С другой стороны, если обозначить к = с1(сх), то С1 можно представить в виде произведения к коммутаторов Тогда из леммы 2 6 следует неравенство |ц1а(с1)| <9к + 3{к — 1) Из которого получаем
с1Ы>1зЧ(£01 + з = !1±1
VI/- 12
Так как Сх является образом элемента [а, Ь]т при композиции эндоморфизмов 1рх, трг и внутреннего автоморфизма, то с1([а, Ьт) > [т/2] + 1 Предложение доказано
В параграфе 4 будет показано, что справедливо и обратное неравенство
Построенный в предложении 2 2 элемент с = [а, Ь]*’1*1 является оптимальным в следующем смысле для всякого эндоморфизма <р 6 ЕпбТг такого, что слово [а, Ь]*’ циклически приведено, справедливо неравенство 1д1а([а, Ь]^)! < |д1а(с)|
Теперь мы можем уточнить лемму 2
Лемма 2.9. Пусть г € Е] и — такой эндоморфизм группы Дз, что г41 — циклически приведен Тогда для всякого натурального т справедливо неравенство
НдЦ^И + б < фт)
Доказательство. Если С11а(г'р) = О, то утверждение очевидно Поэтому далее будем считать, что <фа(г'р) ф 0 Так как слово г10 циклически приведено, то яЦг''’)"1 = тда(г,р) На циклически приведенное слово (г'р)т подействуем эндоморфизмом ф Е2 —Е2, определенным на порождающих
аФ = а, Ь*
Легко заметить, что слово циклически приведено Далее, в зависимости
от знака <фа(г‘р'1'), рассмотрим два случая Предположим вначале, что д1а(г'р*) > О Тогда рассмотрим такой циклический сдвиг слова (г‘р'^)т, что полученное слово Zl будет иметь вид гх = а~1Ьаи, где а € Ж{0}, а слово и оканчивается порождающим Ъ Сопряжем элемент 2х порождающим а Тогда 2? = а~2Ъаиа и легко проверить, что ч1а(г“) = ц1а(гх) + 3 = ц1а(2'°'(,)т + 3 = д1а(г1р)т + 3 Следовательно, мы построили такой эндоморфизм х, что да(гт)х = mqla(z'p) + 3 Из леммы 2 7 следует неравенство
с1С(2*Г'1 > + 3 = гпд1а^) +
и 1 > - 12
Предположим теперь, что да(г‘рф) < 0 Рассмотрим такой циклический сдвиг слова (г'р^)т, что полученное слово 2х будет иметь вид 2х = аЬаи, где а £ 2{0},