Количество представлений натуральных чисел бинарными квадратичными формами

• Автор: Евсеева, Юлия Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 75 с.

Оглавление
Введение
1 Формула для количества представлений натуральных чисел бинарными квадратичными формами
§1 Мнимые квадратичные поля
§2 Модули в квадратичном поле
§3 Соответствие между модулями и формами
§4 Представление чисел бинарными квадратичными формами
§5 Кольца Гекке
§6 Модулярные формы и операторы Гекке
§7 Действия операторов Гекке на тета-ряды
2 Бинарные квадратичные формы с числом классов /г <
§1 Двуклассные формы
§2 Трехклассные формы
§3 Четырехклассные формы. Циклический случай
§4 Четырехклассный формы. Нециклический случай
3 Циклические многоклассные бинарные квадратичные формы

§1 Характеры циклических бинарных квадратичных форм ... 64 §2 Формула для количества представлений многоклассными
циклическими квадратичными формами
Литература

Введение
Актуальность данного диссертационного исследования обусловлена, одной из центральных проблем арифметической теории квадратичных форм -получением формул для количества представлений г(/, т) натуральных чисел т. бинарными квадратичными формами /(ж, у) — ах2 + Ьху + су2 ,
а. /;, с € Ъ, т. е. нахождением количества целых решений диофантового уравнения
ах2 + Ьху + су2 = т.
Цель работы - получить формулу для количества представлений натуральных чисел бинарными многоклассными квадратичными формами. Рассмотреть случаи бинарных квадратичных форм с числом классов /г. 4 и произвольной циклической группы класов. Получить и доказать основные арифметические свойства для числа представлений.
Для достижения поставленной цели в работе используются теория бинарных квадратичных форм, мнимых квадратичных полей, теория операторов Гекке и тета-рядов.
Новизна диссертационной работы заключается в нескольких моментах. Во-первых, впервые получена общая формула, позволяющая найти количество представлений натуральных чисел многоклассными бинарными квадратичными формами отрицательного дискриминанта.

ЛО, у) = Р для XI(р) = 0.
(1.43)
Это означает, что каждое уравнение (1.30) имеет ровно по одному классу собственно ассоциированных решений, а при XI (р) = — 1 не существует квадратичных форм дискриминанта Л, представляющих простое число Р-
Следствие 1.3. Натуральное число т = р"1 ...р“" представимо некоторой бинарной квадратичной формой дискриминанта Л тогда и только тогда, когда
§5 Кольца Гекке
Приведем некоторые факты из теории колец Гекке (подробности см., например, [1]).
Для натурального числа д € N определим соответственно
XI(Рг) = +1 для всех нечетных
(1.44)
А = Д(д)

(1.45)
группу и полугруппу, удовлетворяющих соотношениям:
Г СА,Г Д = Д Г = Д.
(1.46)