Метрическая теория совместных диофантовых приближений в полях действительных, комплексных и ρ-адических чисел

• Автор: Бударина, Наталья Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 192 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Перечень условных обозначений

Введение

1 Теорема Хинчина в случае сходимости для совместных приближений

1.1 Основные результаты главы

1.2 Вспомогательные леммы и результаты

1.3 Доказательство теоремы 1.

1.3.1 Случай п =

1.3.2 Случай (0,0,0)-линейности

1.3.3 Случай (1,1,1)-линейности

1.3.4 Случай (1, 0,0), (0,1,0) и (0, 0,1)-линейностей

1.3.5 Случай (1,1,0), (1,0,1) и (0,1,1)-линейностей
1.4 Доказательство гипотезы Берника-Клейнбока-Маргулиса в
случае сходимости
1.4.1 Случай I: Р'(х) < Я(Я)1/
1.4.2 Случай II: Я(Р)1/2 < Р'(х) < Ф5(Я(Р))
2 Теорема Хинчина в случае расходимости для совместных приближений
2.1 Основные результаты главы
2.2 Доказательство теоремы 2.
2.2.1 Получение эффективной оценки меры множества
2.2.2 Построение оптимальной регулярной системы
2.2.3 Приближения точками регулярных систем в К х С х <0>р
2.3 Доказательство гипотезы Берника-Клейнбока-Маргулиса в
случае расходимости
2.3.1 Построение множеств близких сопряженных алгебраических чисел
2.3.2 Построение локально повсеместной системы
3 Диофантовы приближения с немонотонной функцией аппроксимации

3.1 Основные результаты главы
3.2 Приближения для невырожденных кривых в R
3.3 Приближения для нормальных по Малеру кривых в Zp
3.4 Приближения для полиномиальных кривых в С
3.5 Совместные приближения для полиномиальных кривых вКх
QPl х ... х QPt_t
4 Метрическая теория совместных неоднородных приближений
4.1 Основные результаты главы
4.2 Неоднородный аналог теоремы Хинчина в случае расходимости
для совместных приближений
4.2.1 Общие понятия и определения
4.2.2 Вспомогательные результаты в ультраметрическом пространстве
4.2.3 Вспомогательные результаты в архимедовом пространстве
4.2.4 Доказательство вспомогательной теоремы 4.
4.2.5 Доказательство теоремы 4.
4.3 Неоднородные Диофантовы приближения целочисленными многочленами с немонотонной функцией аппроксимации
4.3.1 Случай малой производной и неоднородный принцип переноса
4.3.2 Случай большой производной
5 Приложение
5.1 О числе многочленов с малыми дискриминантами в R х Qp
5.1.1 Вспомогательные утверждения
5.1.2 Доказательство теоремы 5.1, используя теорему 5.
5.1.3 Доказательство теоремы 5.
5.2 Расстояние между сопряженными алгебраическими числами в CxQ*p
5.2.1 Доказательство теоремы 5.
5.2.2 Доказательство теоремы 5.

5.3 Об условии, при котором ближайший корень многочлена к действительной точке является действительным числом
5.3.1 Вспомогательные леммы
5.3.2 Доказательство теоремы 5.
5.3.3 Доказательство следствия 5.
5.3.4 Доказательство теоремы 5.
5.4 Регулярная система алгебраических чисел третьей степени в коротких интервалах
5.4.1 Доказательство теоремы 5.
5.4.2 Доказательство теоремы 5.
Список литературы

Если выполняются одновременно оба неравенства щ < е/2 и гі < е/2, то доказательство проводится как в предложении 1.2. Поэтому далее в предложении 1.3 мы предполагаем, что тах(ді,гі) > е/2. Пусть максимум достигается на £?1, тогда дополнительно к условиям предположения 1.3 имеем Яі > £/2. Зафиксируем вектор с! = (а4, а^,..., а„), |ау| < 2г+1 и обозначим через Р3 с1 подмножество многочленов Р Е V|с одним и тем же вектором СІ. Далее будем использовать метод существенных и несущественных областей Спринджука (см. [40]). Параллелепипед оДРі) назовем существенным, если для любого другого многочлена Р-2 Є Р3 Рч^ Р, выполняется неравенство
рМРі) Пст4(Р2)) < “/і(сг4(Л))-Если же существует Р2 е Рза> р2 ф Р, такой, что
^МРі)ПС74(Р2)) > ^(<г4(Рх)),
то параллелепипед <т4(Рі) будем называть несущественным. Если и принадлежит бесконечному числу параллелепипедов оДР), то и принадлежит бесконечному числу существенных или несущественных параллелепипедов ст4(Р). Обозначим множество многочленов Р Є для которых 0"4(Р) является существенным, через £3 (1, и множество Р Є РД, для которых СГ4(Р) является несущественным, через
Во-первых, предположим, что Р Є £за. Тогда имеем /ДсгфРі)) « /х(Т). Из (1.22) и (1.25) получаем
М<т2(Рі)) < /х(£74(Р1))2<(-ї,1-2,;2-^+Уі+2^+^Ф(2<) = д(сг4(Р1))2^-п+4)Ф(2г).
Используя последнее неравенство, лемму 1.8 и факт, что число различных классов РЗЙ не превосходит с(п)21(п~3 получаем

ЕЕ Е /фст2(Рі)) < Е 2<Ф(2<)//(Т) < оо.
«=і а Ріє^а <=і
Следовательно, согласно лемме Бореля-Кантелли множество точек, принадлежащих бесконечному числу параллелепипедов сг2(Р), Р Є £3с1, имеет меру нуль.
Далее предположим, что Р Є 2^, т.е. существует многочлен Р Є Р3 а такой, что
сг4(Р, Р) = <т4(Р) П <т4(Р), и /фст4(Р, Р)) > ^/і(сг4(Р)).
Системы неравенств (1.4) и (1.27) выполняются одновременно на <т4(Р, Р) для Р и Р. Поэтому, если Р(/) = Р(/) - Р(/) = 63/3 + 62/2 + 6і/ + Ьо, ТО