Модули над кольцом многочленов, связанные с представлениями конечномерных алгебр

• Автор: Попов, Олег Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 50 с.

Обозначения

0 Предварительные сведения

0.1 Глубина и коэн-маколеевость

0.2 Комплекс Игона-Норкотта

0.3 Инварианты модулей над коммутативными кольцами

0.4 Базисы Грёбнера

0.5 Разложение конечномерных алгебр в прямую сумму

0.6 Простые и сепарабельные алгебры

0.7 Максимально центральные алгебры

1 Доказательство теоремы 1

1.1 Случай 1

1.2 Случай I >
2 Доказательство теоремы 2
2.1 Случай коэн-маколеевости
2.2 Случай точного функтора
3 Доказательство теоремы 3
Литература

Настоящая работа, находящаяся на стыке коммутативной и некоммутативной алгебры, посвящена исследованию алгебраического обобщения одной задачи, возникшей в области приложений коммутативной алгебры к линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. Эти приложения разрабатываются более полувека: инвариантный способ описания системы линейных дифференциальных уравнений
-^пЛ + ■ • • + 1?1 т/т = О,
, ^Лг1/1 + ' ' ‘ ^ш/т — О,
где — функции нескольких вещественных переменных, Лу — дифференциальные операторы, заключается в рассмотрении (левого) модуля М над кольцом дифференциальных операторов (.О-модуля), являющегося фактором свободного модуля ранга т по подмодулю, порождённому строками матрицы (Оу). Тогда, рассматривая кольцо гладких (аналитических, обобщённых) функций О как модуль над кольцом дифференциальных операторов, легко увидеть, что пространство гладких (соотв., аналитических, обобщённых) решений нашей системы отождествляется с пространством гомоморфизмов £>-модулей Нот(М, О): образующие М переходят в функции которые удовлетворяют системе уравнений, потому что на образующие модуля были наложены соотношения. Но кольцо дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами является кольцом (коммутативных) многочленов от операторов первых частных производных по переменным, так что в случае постоянных коэффициентов таким образом получается модуль над кольцом многочленов. Многие содержательные свойства решений системы дифференциальных уравнений естественно переформулируются в терминах коммутативно-алгебраических свойств этого модуля, см., в частности, [19].
В статье [1] рассматривался модуль над кольцом многочленов, сопостав-

ленный таким образом системе Коши-Фуэтэ, задающей кватернионно-диф-ференцируемые функции. Это модуль Мп = Н4/{Ап), где Ап — матрица У\ ■ ■ • |ип, (Ап) — подмодуль, порождённый её столбцами,
/ Xi Vi Zi к
-Vi Xi к ~Zi
-Zi -и Xi Vi
Zi -Vi Xi
a А = k[{®i, уи Zi, ii}"=1], k — поле.
Авторы показывали, что проективная размерность этого модуля равна 2п — 1, и выводили отсюда, что вялая размерность пучка кватернионно-дифференцируемых функций п переменных тоже равна 2п — 1 [1, Theorem 3.1] и что когомологии этого пучка, начиная с (2п — 1)-й, на любом открытом подмножестве в Н" обращаются в нуль [1, Сог. 3.4].
Авторы использовали некоторые понятия и методы коммутативной алгебры, которые мы сейчас напомним. Дальнейшие детали и ссылки см. в разделе 0.1.
Определение. Пусть А — нётерово коммутативное кольцо, М — А-модуль. Последовательность ai an Е R называется М-регулярной, если (oi ап)М ф М и для i от 1 до п в модуле М/(а at-)M умножение на а,- инъективно.
Определение. Пусть R — нётерово коммутативное кольцо, М — А-модуль, /С А-идеал, и IM ф М. Длина depth (1,М) любой максимальной М-регулярной последовательности в I называется глубиной М относительно I. При рассмотрении глубины градуированных модулей над кольцом многочленов относительно идеала всех многочленов без свободного члена мы будем опускать указание идеала.
Формула Ауслендера—Буксбаума. Для градуированного модуля М над кольцом многочленов A depth М + pd М = dim А.
Авторы вычисляли проективную размерность при помощи формулы Аус-лендера-Буксбаума, а не построением резольвенты, так как этот путь они считали слишком сложным. Необходимая для применения формулы Ауслен-дера-Буксбаума глубина этого модуля, равная 2п + 1, вычислялась в [1] посредством явного (при помощи базисов Грёбнера) предъявления Л4„-после-довательности. В статье также была найдена размерность Крулля Л4„, для чего рассматривалось касательное пространство к носителю этого модуля в

[25] ПОПОВ О. Н. Об одной конструкции модулей над кольцом многочленов в случае произвольного поля // Успехи матем. наук. 2004. Т. 59. Вып. 3. С. 175-176.