Когомологии Хохшильда ассоциативных конформных алгебр

• Автор: Долгунцева, Ирина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 51 с.

Содержание
Введение
1 Конформные алгебры
1.1 Определение конформных алгебр
1.2 Формальные степенные ряды
1.3 Алгебра коэффициентов конформной алгебры
1.4 Многообразия конформных алгебр
1.5 А-произведения
2 Псевдотензорные категории и псевдоалгебры
2.1 Алгебры Хопфа: основные обозначения
2.2 Псевдотензорные категории и псевдоалгебры
2.3 Псевдотензорная категория ,Л4(1к[£)])
2.4 Псевдолинейные отображения
3 Конформные линейные отображения. Модули над конформными алгебрами
3.1 Конформные линейные отображения
3.2 Примеры ассоциативных конформных алгебр
3.3 Модули над конформными алгебрами
4 Когомологии Хохшильда ассоциативных конформных алгебр
4.1 Основные определения
4.2 Расширения и вторая группа когомологий
5 Вторая группа когомологий конформных алгебр
Сепс1п и Сиг„
5.1 Элементы специального вида
5.2 Доказательство основных теорем
Литература
Работы автора по теме диссертации
Введение
Актуальность темы. Структурная теория конформных алгебр — сравнительно новая и активно развивающаяся область алгебры. Интерес к этой теории обусловлен тем, что она связана с математической физикой. Одним из направлений изучения конформных алгебр является исследование расширений конформных алгебр. В данной диссертации рассматриваются расширения ассоциативных конформных алгебр.
Формальное определение конформной алгебры было сформулированно
В.Г. Кацем в работе [9] как аксиоматическое описание сингулярной части разложения операторного произведения (operator product expansion, OPE) киральных полей в конформной теории поля. Киральные поля (или формальные распределения) представляют собой бесконечные в обе стороны ряды

с коэффициентами в некоторой алгебре А (обычно в качестве алгебры А рассматривают алгебру Ли Ql(V) линейного пространства V над полем комплексных чисел С). Произведение формальных распределений не всегда определено, так как может приводить к бесконечным суммам в коэффициентах. Для взаимно локальных формальных распределений вводится операция ОРЕ, которая позволяет заменить умножение рядов счетным набором билинейных операций on, п Е Z+.
Сингулярная часть операторного произведения описывает коммутационные соотношения взаимно локальных формальных распределений, которые приводят к понятию конформной алгебры Ли. Ассоциативные конформные алгебры возникают как модули конформных линейных отображений.
Другой подход в теории конформных алгебр связан с понятием псевдо-тензорной категории, которое было введено A.A. Бейлинсоном и В.Г. Дрин-фельдом в работе [3]: конформная алгебра — это алгебра в псевдотезор-ной категории М(Н), ассоциированной с полиномиальной алгеброй Н = k[jD] (см. [1]). Объектами в этой категории являются левые унитальные iT-модули, и алгеброй в Л4(Н) называется модуль С Е М(Н) с Н ® .ff-линейной операцией *: С <8> С —> (H Н) С. Преимуществом данного языка является то, что ассоциативность, коммутативность и другие тож-

дества имеют в нем естественную интерпретацию. Заметим, что обычная алгебра над полем к — это алгебра в псевдотензорной категории Л4(к).
Таким образом, последний подход представляется наиболее естественным для обобщения понятия алгебры линейных преобразований End U конечномерного линейного пространства U. А именно, если V — конечно-порожденный Я-модуль, то все его конформные эндоморфизмы (см. [1, 6, 9]) образуют ассоциативную конформную алгебру, которую обозначают CendK.
В работе А. д’Андреа и В.Г. Каца [6] были описаны простые и полупро-стые лиевы конформные алгебры конечного типа. В работе Е. Зельманова [17] был доказан аналог «основной» теоремы Веддерберна об отщеплении радикала для ассоциативных конформных алгебр конечного типа. В более широком классе ассоциативных конформных алгебр, имеющих точное представление конечного типа, аналоги структурных теорем были доказаны П.С. Колесниковым [10, 11].
Одним из главных результатов теории конечномерных алгебр является классическая теорема Веддерберна о строении сепарабельных алгебр.
Пусть А — конечномерная ассоциативная алгебра с радикалом R = Rad(A). Если A/Rad(A) — сепарабельная алгебра, то существует подалгебра S С А такая, что А равна прямой сумме пространств S ф Rad(A).
В 1945 г. Г. Хохшильд ввел понятие когомологий для ассоциативных алгебр и доказал теорему о тривиальности группы когомологий для (по-лу)простых алгебр этого класса [7]. Он также показал, что теорема Веддерберна является следствием тривиальности второй группы когомологий алгебры матриц над полем.
Подход к теории когомологий Хохшильда ассоциативных конформных алгебр был предложен Б. Бакаловым, В.Г. Кацем и А. Вороновым [2]. В определении когомологий авторы использовали так называемые А-произве-дения. Однако этот подход не был развит в должной мере. Также в этой работе сформулирована задача вычисления группы когомологий Хохшильда конформной алгебры CendK.
Таким образом, основные цели данной работы:
• разработка другого подхода к построению конформных когомологий Хохшильда, который использует язык псевдоалгебр;

Доказательство. Поскольку Н2(С, М) = 0 для любого C-модуля М, то по теореме 2 С отщепляема в любом сингулярном расширении. Пусть (В, а) — расширение алгебры С, N = ker a, Nn = 0, п > 1. Рассмотрим цепочку последовательных расширений алгебры С:
В —* B/Nn~l —В/N2 —v В/N = С.
Отображение а: В —> С индуцирует отображение a: B/N2 —* С. Заметим, что (В/N2, кегст) — сингулярное расширение алгебры С = В/N. Поэтому существет подалгебра С С В/N2 такая, что B/N2 = С (D N/N2, С = С. Пусть С С В - прообраз подалгебры С. Тогда существует эпиморфизм т: С —» С, причем kerr = N2 имеет степень нильпотентности меньше п. Рассуждая далее по индукции, получаем, что существует подалгебра С* С С и С = С* 0 N2, С* “ С. Так как С* С В, то В = С* ® N. □