Слабо регулярные модули и их прямые суммы

• Автор: Абызов, Адель Наилевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 117 с.

Глава I. Слабо регулярные кольца и модули
§ 1.1. Предварительные сведения
§ 1.2. Слабо регулярные модули
§ 1.3. Слабая регулярность категории модулей
§ 1.4. Замкнутость слабо регулярных модулей относительно прямых
сумм
§ 1.5. Слабо регулярные модули над коммутативными кольцами
Глава II. Прямые суммы слабо регулярных модулей
§ 2.1. Прямые суммы слабо регулярных модулей над совершенными
кольцами
§ 2.2. Прямые суммы модулей со свойством поднятия
Глава III. Прямые суммы 1 - строго слабо регулярных модулей
§ 3.1. Проективные 1-строго слабо регулярные модули
§ 3.2. 1-строго слабо регулярные модули
§ 3.3. Прямые суммы 1 - строго слабо регулярных модулей
Литература
Предмет исследования и актуальность темы. Кольцо Я называется слабо регулярным, если каждый его правый (левый) идеал, который не содержится в радикале Джекобсона кольца Я, содержит в себе ненулевой идемпотент. Класс слабо регулярных колец включает в себя ряд хорошо известных и изученных классов колец. Например, слабо регулярными кольцами являются полусовершенные кольца, регулярные кольца, полурегулярные кольца, полуартиновы кольца и кольца со свойством замены. Слабо регулярные кольца, у которых радикал Джекобсона является ниль — идеалом, под названием I - колец изучались Левицким в работе [66]. I - кольца также рассматриваются в книге Джекобсона [4]. Слабо регулярные кольца под названием лево - I - подобных колец были введены в 1965 году И.И. Сахаевым в работе [15]. В частности, И.И. Сахаевым полусовершенные кольца были охарактеризованы, как слабо регулярные кольца, у которых всякое множество попарно ортогональных ненулевых идемпотентов конечно. Никольсон в 1975 году в работе [69] ввел и изучил слабо регулярные кольца под названием 10 - колец.
Понятие слабо регулярного модуля, как модульного аналога понятия слабо регулярного кольца, было введено в начале 90 - ых годов XX века И.И. Сахаевым. X. Хакми изучал проективные слабо регулярные модули и их кольца эндоморфизмов. В частности, им были описаны кольца, над которыми каждый проективный модуль имеет слабое регулярное кольцо эндоморфизмов. Также X. Хакми установил, что над слабо регулярным кольцом каждый проективный модуль является слабо регулярным.
В последние десятилетия специальные случаи слабо регулярных модулей рассматривались различными авторами. Слабо регулярными модулями являются регулярные модули, полурегулярные модули и модули со свойством поднятия. Модули со свойством поднятия изучали Визбаур [74], Оширо [72]-[74], Кескин [63]-[64], Ломп [63], Ваная и Пуров [84]
частности, в работе [84] было установлено, что над кольцом II все правые модули являются модулями со свойством поднятия тогда и только тогда, когда Я является артиновым полуцепным и 12(Я)=0. В работе [63] Кескин и Ломп установили, что у полусовершенного кольца Я квадрат радикала Джекобсона равен нулю тогда и только тогда, когда над ним каждая прямая сумма локального проективного модуля и простого модуля является модулем со свойством поднятия. Свойства полурегулярных модулей подробно изучил Никольсон в работе [69]. Регулярные модули изучал Зельманович в работе [86].
Введение и изучение слабо регулярных модулей позволяет развить единообразный подход ко всем модулям упомянутых выше.
Цель работы: установление условий, при которых имеет место замкнутость слабо регулярных модулей относительно прямой суммы. Систематическое описание колец, над которыми модули являются прямыми суммами слабо регулярных модулей.
Основные результаты работы.
1. В случае полусовершенных колец описаны кольца, над которыми все правые модули слабо регулярны, и кольца, над которыми правые слабо регулярные модули замкнуты относительно прямой суммы.
2. Установлено, что кольца, над которыми слабо регулярные правые модули замкнуты относительно прямой суммы, являются правыми кольцами Басса.
3. Для слабо регулярного кольца 11 установлено, что из условия замкнутости слабо регулярных правых Я - модулей относительно прямой суммы следует полупростота правого К - модуля 1(Я)к.
4. Дана новая характеристика артиновых полуцепных колец, как колец, над которыми каждый правый и левый модуль является прямой суммой конечного числа модулей со свойством поднятия.
5. Описаны 1 - строго слабо регулярные проективные модули.
6. Получены необходимые и достаточные условия для колец, над которыми все модули являются 1- строго слабо регулярными.
порождается идемпотентом и, следовательно, Soc(R)= @ш e,R , где е-, -примитивные идемпотенты. Поскольку для каждого i кольцо ejR является полем, то Soc(R) является прямой суммой полей и, следовательно, будет регулярным. Пусть а - предельное ординальное число. Тогда по определению Soca (R)= [J SoCß(R). Согласно предположению индукции, для
ß каждого ß противное. Тогда для некоторого, элемента хе Soca(R) Soca^R) имеем
х2е Soca ординальное число и, следовательно, ß=ß0+l для некоторого ординального числа ß0. Очевидно, ß < а0<а и из предположения индукции следует, что SoCß(R) является регулярным. Рассмотрим фактор кольцо R =R/ SocA (R) .
Поскольку цоколь SoCß(R)/ Socßo (R) этого кольца является существенным и
регулярным, то J(i?)=0. Пусть х канонический образ элемент х в кольце R. Тогда х2*0 и nr2eSoCß(R)/5,ocA (R). Поскольку цоколь SoCß(R)/SocPo (R) кольца
R является регулярным, то он является прямой суммой минимальных идеалов каждый из которых порождается примитивным идемпотентом. Следовательно, для идеала x2R имеем следующее представление
лг2Л=^]® (e,R), где е; - примитивные идемпотенты кольца R . Согласно лемме

1.3.8, модуль x2R является инъективным и, следовательно, выделяется в виде прямого слагаемого в xR и х ~R= х 27?©hT?, где h лежит в Л. Тогда x=x2ti+ht2, h=xt3, где элементы ti, t2, t3 лежат в R. Рассмотрим элемент a=x2t3 = hx. Поскольку аех2ЛпЬл, то а=0 и, следовательно, hx=0. Тогда h2= x2(t3)2=0 и поскольку J( R )=0, то h=0. Следовательно, имеем xR=x2R и