Необходимые и достаточные условия конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница

• Автор: Половинкина, Анастасия Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 92 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Линейные алгебры и их многообразия

1.2. Краткие сведения из теории представлений симметрической

группы

Глава 2. Проблема конечности кодлины в различных классах линейных алгебр

2.1. Многообразия линейных алгебр кодлины равной единице

2.2. Условия конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр

2.3. Многообразия Г*ТвА, Уі, и2 алгебр Ли и их свойства

2.4. Многообразия алгебр Ли и условия конечности их кодлины

Глава 3. Условия конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница
3.1. Многообразия N5А, Уі, и2 алгебр Лейбница и их подмногообразия
3.2. Необходимое условие конечности кодлины многообразия
алгебр Лейбница
3.3. Достаточное условие конечности кодлины многообразия
алгебр Лейбница
3.4. Необходимые и достаточные условия конечности
кодлины многообразия алгебр Лейбница
Литература

Введение
Изучение линейных алгебр и их многообразий над некоторым полем с точки зрения выполнения в них тождественных соотношений является одним из устоявшихся направлений исследований современной алгебры. Наиболее изученными являются многообразия ассоциативных алгебр и алгебр Ли [2], [52]. Данная работа посвящена исследованию многообразий алгебр Лейбница. Вероятно, одно из первых упоминаний алгебр Лейбница встречается в работе А.М. Блоха [4] как обощение понятия алгебры Ли. Эта тематика начала активно развиваться в 90-х годах XX века, появился ряд публикаций отечественных и зарубежных авторов: A.A. Михалев, V. Drensky, G.M.P. Cattaneo [50], J.-L. Loday, T. Piraslivili [55] и др.
Важным направлением в исследовании многообразий линейных алгебр является изучение их числовых характеристик. К таковым относится рост многообразия, его кратности, кодлина. Данная работа содержит исследование многообразий алгебр Лейбница с конечной кодлиной, то есть многообразий, кодлина которых ограничена некоторой константой.
Одним из самых интересных примеров многообразий алгебр линейных алгебр являются многообразия с кодлиной, равной 1. Эта проблема исследована в работе [29]. В ней доказана, что существует ровно три многообразия с указанным свойством, по одному в классах алгебр ассоциативнокоммутативных алгебр, алгебр Ли и йордановых алгебр.
В случае ассоциативных алгебр рост кодлины любого многообразия V асимптотически ограничен полиномиальной функцией nq для подходящего q [48].
Для алгебр Ли ситуация значительно сложнее. Существует широкий класс многообразий алгебр Ли, называемых SPI-многообразиями, наиболее близки по своим свойствам к многообразиям ассоциативных алгебр. Для

них рост кодлины подчиняются аналогичным ограничениям. Существует более широкий класс АР1-многообразий, для которых рост коразмерности экспоненциально ограничен, а про рост кодлины ничего не известно. Поведение роста кодлины многообразий алгебр Ли изучено гораздо хуже, чем рост коразмерности. Известны отдельные примеры многообразий с полиномиальным ростом кодлины. В работе [15] доказана полиномиальность роста кодлины любого АР1-многообразия алгебр Ли и построен ряд примеров, когда кодлина растет быстрее любой полиномиальной функции. Приведенные примеры показывают, что для многих важных многообразий алгебр Ли, таких как многообразия трехступенно разрешимых алгебр Ли, многообразия порожденные некоторыми бесконечномерными простыми алгебрами картановского типа или некоторыми алгебрами Каца-Муди, рост кодлины сверхполиномиален.
В работе [12] доказано, что если в многообразии V выполнена система тождеств Капелли ранга 4, то есть кохарактер многообразия лежит в полосе ширины 3, то при этом кодлина V имеет экспоненциальный рост. В работе [56] содержится доказательство того, что кодлина и коразмерности многообразия удовлетворяют условиям
Там же для произведения нильпотентных многообразий алгебр Ли соответствующей степени кодлина ^.(N(,N2) асимптотически ведет себя, как . Кодлина многообразия была исследована в работе [51]. В ней определена следующая асимптотика для кодлины этого многообразия
1п(/п(АК2)) Су/й,
где С = 7Гі/|, а также доказано, что А№2 — минимальное многообразие алгебр Ли со сверхполипомиальным ростом кодлины.

миального роста является подмногообразием многообразия Г^А, и более точно, оно удовлетворяет условиям
ХТ2А 0 V С ГЧ.А.
Таким образом, в работе [28] был установлен критерий полиномиальности роста многообразия в терминах тождественных соотношений. Эквивалентность этих двух условий тому факту, что ненулевые подмодули модуля Рп{V) соответствуют лишь диаграммам с ограниченным числом, независящим от п, клеток вне первой строки, была доказана в работе [3]. Позже доказана существование и целочисленность экспоненты произвольного подмногообразия многообразия N,5А [58].
Хорошо известным частным случаем многообразия ]Ч„А является многообразие К2А алгебр Ли, которое удовлетворяет тождеству
(х1х2)(х3х4)(х5х6) = О
и часто для краткости в диссертационной работе будем обозначать также через V1 как это было сделано в обзоре [35]. Последнее обозначение обосновано тем фактом, что многообразие V! = N2А является первым в списке многообразий почти полиномиального роста.
Рассмотрим некоторые тождественные соотношения, которые выполняются в многообразии ^А. Используя тождество антикоммутативности и тождество Якоби, которые определяют алгебру Ли, легко получить такие тождества
хх*2/ = 2ххх2/ хх*2х1{ ее О
х*хх2x3f = 2афг3х*2/ 2шхх*2/ = ю(х1х2)/,
где ш - любой элемент алгебры, а / - произвольный ассоциативный полином от внутренних дифференцирований. Используя полученные тождества