Абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов

• Автор: Сорокин, Константин Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 110 с.

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Некоторые классы абелевых групп с чистыми кольцами эндоморфизмов

1.1 Понятие чистого кольца, примеры и общие факты

1.2 Прямые суммы циклических р групп с чистыми кольцами эндоморфизмов

1.3 Вполне разложимые группы с чистыми кольцами эндоморфизмов

2 БР-группы конечного ранга с чистыми кольцами эндоморфизмов

2.1 Самомалые БР-грунны

2.2 БР-группы ранга 1 с циклическими р компонентами

2.3 БР-группы ранга 2 с циклическими р компонентами

Литература

Список обозначений
В данной работе под словом «группа» понимается абелева группа. Обозначаются группы большими латинскими буквами А, В,
N множество натуральных чисел;
Р множество всех простых чисел, расположенных в порядке возрастания;
<0> полная рациональная группа;
Ъ группа целых чисел;
Ъ{п) циклическая группа порядка п;
0 прямая сумма;
Д прямое произведение;
Нот(Л, В) группа гомоморфизмов из группы А в группу В;
Е(А) кольцо эндоморфизмов группы А;
J{R) радикал Джекобеона кольца К;
1т(/) образ гомоморфизма /;
Кег(/) ядро гомоморфизма /;

A / В факторгруппа группы А но подгруппе В ;
(М) подгруппа, порождённая подмножеством М ;
А[п] подгруппа {а € А | па = 0} группы А ;
Ар р компонента группы А ; h (а) — высота элемента о; о(а) порядок элемента а ; р простое число;
Q группа или иоле всех рациональных чисел;
Qp группа или кольцо всех рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с простым числом р ;
Q*- — группа или кольцо всех рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с каждым р из 7Г, где 7Г — некоторое подмножество множества всех простых чисел; t(A) — тип однородной абелевой группы без кручения А.

Поскольку а эндоморфизм, в случае, когда а — Ь Е Т(Л), имеем а(а — Ь) Е Т(Л). Тем самым отображение а задано корректно.
Рассмотрим произвольный элемент а = а+Яг € 5 = Е(А) /[отп.(А, Т(А)). Построим вложение (р из 5 в Е(А/Т(А)): каждому а поставим в соответствие а.
Пусть а,/3 Е Я и а — /3 Е Яг- Тогда для всякого а Е А
ср(а)а — аа = а(а) + Т{А),
<рф)а = /За — /3(а) + Т(А).
И далее получаем
¥?(а - /3)а = <р(а)а - <рф)а = (а(а) + Т(А)) - (/3(а) + Т(А)) =
= (а-/3)а + Т(А) = 0 + Т(А).
То есть (р(а — /3) = 0. Тем самым вложение Покажем теперь, что мономорфизм. Пусть имеются два таких элемента а, /3 Е Я, что ра = <р{3. В таком случае для всякого а Е А справедливы следующие равенства
0 = 0 + Т(А) = <р(а - /3)а = р(а)а - <рф)а = (а(а) + Т{А)) - ф(а) + Т(А))
= (а-/3)а + Т(А).
Откуда следует, что (а — /3)а Е Т(А) для любого а Е А. Значит, а — (3 = а — /3 = 0 и 9? действительно мономорфизм.