Группы автоморфизмов полей и их представления

• Автор: Ровинский, Марат Зефирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 181 с.

Оглавление
Глава 0. Введение і
0.1. Некоторые общие обозначения, соглашения и цели и
0.2. Основные результаты іі
1. Структура Є іі
1.1. Замкнутые, открытые и максимальные собственные подгруппы; теории Галуа іі
1.2. Автоморфизмы б? ііі
2. Как переводить геометрические вопросы на язык теории представлений? ііі
2.1. *57710 IV
2.2. А<1т іу
2.3. Та уі
2.4. Фд и когомологии гладких представлений іх
2.5. Дифференциальные формы іх
3. От линейных представлений к полулинейным х
3.1. Нормирования и ассоциированные функторы ([Р6]) хіі
3.2. Допустимые полулинейные представления хіі
4. Обозначения, соглашения и терминология XV
4.1. Поля, их расширения, автоморфизмы и т.д. XV
4.2. Общие обозначения хуі
4.3. Топологические группы, их представления, меры и т.д. хуі
Глава 1. Структура С и теории Галуа
1. Некоторые сведения о замкнутых подгруппах в Є
1.1. Теория Галуа
1.2. Топологическая простота С° и то, что с ней связано
1.3. Пересечения подполей и оболочки подгрупп
2. Максимальные открытые подгруппы
2.1. Ещё одна теория Галуа
3. Нормирования и связанные с ними подгруппы
3.1. Нормирования и максимальные подгруппы
4. Объединение компактных подгрупп
4.1. Теория Куммера
4.2. Формальные ряды
5. «Плотная» локально компактная «подгруппа» бвб
5.1. Явная формула для модуля
6. Автоморфизмы С при п
Глава 2. Общие свойства гладких представлений Сиих реализации
1. Алгебры Гекке и соответствия
1.1. Центры алгебр Гекке

Оглавление
2. Инварианты подгрупп и тензорные произведения
3. Морфизмы между некоторыми (7-модулями, матричные коэффициенты и
сепарабельное замыкание
3.1. Два замечания о (7-модулях Р/к и /к*
3.2. Морфизмы между некоторыми (7- и (7°-модулями
3.3. Некомпактность носителей матричных коэффициентов
4. Несколько примеров (ко-)гомологических вычислений
4.1. Примеры вычислений групп расширений и торсоров
4.2. Пример вычисления коинвариантов и внутреннего функтора Нот
5. Гладкие представления (7 как пучки и их ацикличность
(У.Яннсен, М.Ровинский)
5.1. Доминантная топология
5.2. «Ацикличность» некоторых ограничений (7-модулей
5.3. Когомологии Чеха
5.4. Ацикличность «геометрических» (7-модулей и когомологическая размерность
категории с54
5.5. А1-инвариантность некоторых предпучков
6. Представления, коиндуцированные с открытых подгрупп
6.1. Чисто трансцендентные расширения квадратичных расширений
Глава 3. Гомотопически инвариантные представления С
0.2. Возможные связи со смешанными мотивами
1. Категория 1а
1.1. Категория Та и допустимые представления
1.2. Функтор X
1.3. Объекты Та уровня
1.4. Описание мотивной фильтрации на группах Чжоу нуль-циклов
1.5. Внутренний Нот
1.6. Стабилизаторы
2. «Формула Кюннета» и тензорная структура
2.1. Тензорная структура на Та
2.2. «Формула Кюннета» для произведений с кривыми
2.3. Некоторые подкатегории в 2Гд, тензорные структуры на них и их варианты
3. Геометрическая конструкция допустимых представлений
3.1. Представления, котрагредиентные к мотивным
3.2. Проектор Дцх)
3.3. Функторы В* и 23?
3.4. «Поляризация» на Вп(к(Х) Г1) и поляризуемые (7-модули
4. Нормирования, связанные с ними функторы и полулинейные представления
4.1. Функтор «глобализации»
4.2. Функтор «специализации»
4.3. Ограничения на объекты Та и на факторы объектов Та® Р
5. Полнота функтора ®1?х
5.1. Соотношения между Тд{к) и полулинейными представлениями
6. «Гомотонически инвариантные» представления как невырожденные модули
6.1. Алгебра Гекке полупростой подкатегории категории Та
7. Ограничения объектов Тс на специальные подгруппы Галуа, и 1-индукция
Оглавление

7.1. Следы и центральные функционалы
8. Категории J© и Adm<$
Глава 4. Полулинейные представления G
1. Обозначения настоящей главы и план изучения категории А
1.1. Обозначения
1.2. Схема изучения структуры категории А
1.3. Включение 6£„ С 6££
1.4. Функтор Sn
2. Примеры полулинейных представлений
2.1. Полугруппы с одной образующей
2.2. Бесконечная симметрическая группа
2.3. Линейные и полулинейные представления
3. Некоторые полулинейные представления групп, исчерпываемых своими
компактными подгруппами
3.1. Эндоморфизмы и стягивания
3.2. Локальная задача: &((ё))-полулинейные представления N
4. Чисто трансцендентные расширения: редукция к локальной задаче
5. Две леммы о «слабых гомоморфизмах»
6. Категория б£“ полулинейных представлений PGL„+1 и когерентные пучки на Р£
7. Эквивариантность неприводимых когерентных PGL-пучков
8. «Положительность» допустимых полулинейных представлений
9. Расширения в 6£“ и в А
9.1. Расширения в б£“
10. Категория А в случае к = Q
10.1. Группы Ext в А
11. «Когерентные» пучки в гладкой топологии
12. А/А>т
13. Разное
13.1. Забывающий функтор
13.2. «Простота» категории С, или тривиальность универсальных факторов
14. Дифференциальные формы
14.1. (Полу)линейные представления пары (G, g)
14.2. Примеры полулинейных представлений ©
Литература
Приложение А. Полулинейные представления над Кп степени один некоторых подгрупп
группы Кремоны
1. Случай PGL
2. Случай подгруппы группы Кремоны, порождённой PGL и некоторой инволюцией

1. Структура <7 и теории Галуа
2. При п = оо любая счётная свободная труппа Н = вкладывается в С? так, что её
пересечение с любой собственной открытой подгруппой в в тривиально. А именно, выберем базис трансцендентности Е|к, и пронумеруем его элементами группы Н: {хь И, 6 Н}. Определим действие образующих {Лу | у 6 5} группы Н на базисе трансцендентности формулой
= ЛуЛ- Ясно, что это действие продолжается, хотя и неоднозначно, на Е.
Вопросы. 1. Прообраз любой подгруппы простого (конечного) индекса в <(])£ относительно характера модуля даёт, если гг < оо, пример максимальной открытой собственной подгруппы, не учтённой предложением 1.28. Любое компактное подмножество группы (? содержится в бесконечном множестве таких подгрупп. Существуют ли другие максимальные открытые собственные подгруппы?
2. Существуют ли замкнутые подгруппы, не содержащиеся в максимальных?
3. Реализуются ли максимальные собственные открытые подгруппы как стабилизаторы в неприводимых (полу-)линейных представлениях (при п = оо) группы О? Ответ был бы отрицательным, если бы представления <0>[{[Е] | к С Ь С Е, с1е{фг(Е|А) = тп}]° (соотв., Е[{[Е] | к С Ь С Р, с1е5бг(|А:) = т}]° 6 С) оказались неприводимыми для всех т > 1.
Пусть п — оо, а не лежит в объединении собственных открытых подгрупп О, и А = Аа := Е(сг, ег-1} - алгебра эндоморфизмов аддитивпой группы Р, порождённая Р и сг*1. Ясно, что А - евклидово простое кольцо с центром р(а см. [О]. Стандартным образом проверяется, что А-модул и без кручения свободны.4 В частности, является свободным А-модулем не более чем счётного ранга. Ранг как А-модуля - инвариант класса сопряжённости а. Других инвариантов мне не известно.
2.1. Ещё одна теория Галуа. Теперь, при п = оо, можно охарактеризовать
(1) нормализаторы СУ-уздц, подгрупп врь в для всех Ь е АПч{А} - как максимальные открытые собственные подгруппы (3 (см. предложение 1.28);
(2) подгруппы Срь Для всех А ЯП {А} как минимальные замкнутые нетривиальные нормальные подгруппы В (это следует из топологической простоты б);
(3) подгруппы Сд|ц группы С для всех нетривиальных расширений Ьк в Е конечного тина как открытые подгруппы, содержащие нормальные ко-компактные подгруппы вида (?р|т; из пункта (2) (это следует из классической теории Галуа для Ьк);
(4) собственные подгруппы в образе /3 как пересечения подгрупп из пункта (3).
41. Докажем, что любой подмодуль М свободного Л-модуля конечного ранга N свободен. Если N = 1, то это ясно, поскольку Л - кольцо главных идеалов. По предположению индукции модуль М П Лдт_1 свободен. Пусть а {а € А Эт = (<ц,.. ,ад_1, а) £ М С Ам} = А Ь для некоторого Ь, и е = (щ
2. Докажем, что (а Л) П (6 Л) ф 0 для любых ненулевых а, Ъ £ Л. Можно считать, что а, Ъ — многочлены от а. Определим последовательность (Г(,?0 нар многочленов от а правилом Го = Ь, п = а и г,_1 = г,<7;+1 +П-ц и 4ед г1+1 < dogГi, если г, ф 0, при г > 1. Тогда уравнение п-г х = пу .можно нереписать как г, (у — д.+ух) = П+ух, то есть оно имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда имеет ненулевое решение уравнение пх = г,д1у. Поскольку найдётся такое г, что п ф 0 и тту-у = 0, всё доказано.
3. Докажем теперь, что любой конечно порождённый модуль М без кручения свободен. Среди образующих
М выберем максимальное подмножество элементов еу