Орбиты и инварианты пучков квадратных матриц

• Автор: Первушин, Дмитрий Довидович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Обозначения

Часть I. Пучки матриц

1. Классификация пучков

1.1. Регулярные пучки

1.2. Несовершенные сингулярные пучки

1.3. Совершенные пучки

1.4. Классификация пучков

1.5. Коразмерность орбиты

2. Инварианты пучков
2.1. Инварианты квадратных пучков
2.2. Инварианты прямоугольных пучков
3. Примыкания пучков
3.1. Пачки пучков матриц
3.2. Основные результаты о замыканиях
3.3. Примыкания пачек и ОЬ^-орбит
3.4. Примыкания СЬП1т2-орбит
3.5. Примыкания вЬ^щ-орбит.
3.6. Примыкания ЭЬ^^-орбит.
3.7. Нуль-конус
3.8. Построение графов примыканий
Часть И. Пучки матриц порядка 4
4. Градуированная алгебра Ли Е7
5. Полупростые элементы
5.1. Общая теория
5.2. Картановское подпространство

5.3. Классификация полупростых элементов
6. Нильпотентные орбиты
6.1. Характеристика нильпотентного элемента
6.2. Централизатор нильпотентного элемента
6.3. Классификация нилыготентных элементов
7. Орбиты смешанного типа
Приложения
8. Явное построение градуированной алгебры Ли Ет.
9. Таблицы и рисунки.
Предметный указатель
Список литературы
Введение

Проблема классификации орбит стандартного линейного представления группы 8ЬП1(С) х • • • х , г.е. тензорного произведения соответствующих тавтологи-
ческих представлений, при в < 2 тривиальна, но уже при я = 3 становится чрезвычайно сложной и в общем случае, по-видимому, не имеет разумного решения. Простейшим, но в то же время не тривиальным среди этих сложных случаев является случай трех сомножителей, один из которых есть ЗЬ2(С). Целью настоящей работы является исследование этого случая — стандартного линейного представления группы 8Ь„)ТО12 = (С) х БЬт (С) х 8Ь2 (С) в пространстве С1г,т’2 = С” ® Ст <8> С2,
нахождение его инвариантов, классификация орбит и описание их примыканий.
В пространстве Си’т’2 естественным образом действуют еще три группы — СЬ.„(С) х СЬт(С), ЭЬП(С) х ЗЬт(С), и ЦБ» (<С) х СЬт(С) х СЬ2(С), обозначаемые далее через ЦЬщт, 8ЬП|Ш и СЬП1ТП^ соответственно. Между ними имеются следующие включения:
= ЦЬДС) х СЬт(С) с СЬП(С) х ЦБт(С) X СЬ2(С) = и и
8Ьп,т = ЯЬДС) х ЭЦДС) с ББДС) х ЗБт(С) х ЗЬ2(С) = 8Ьта,т>
Если в пространствах С", Ст и С2 выбраны базисы, то компоненты Ту)с тензора Т € Сп'т’2 составляют две прямоугольные матрицы, элементы которых суть Ту1 и Г4'2 соответственно. Элемент пространства Сге,т’2, интерпретируемый как пара п х т-матриц Л и В, называется пучком матриц и обозначается А + В. Если п = т, то пучок называется квадратным:; в противном случае он называется прямоугольным. Действия групп и ЗЬ.,цт 2 на пучках матриц определяются по
формуле
(В, Я, Я) о (Л + А В) = (■ТцРАЯ-1 + гпРВС}-1) + А (тщРЛО“1 + г22РВЯ~1), (1)
где Гу суть элементы матрицы Я^1. Будем говорить, что два пучка (7-эквивалентны, если они эквивалентны относительно действия группы С, где О — одна из вышеперечисленных групп; СЬп>т-эквивалентные пучки будем называть просто эквивалентными.

Іа. К^фігк-1 71^1 ® Пк+1, 1 <з<к,
ІЬ. С, ® Ск -> Сі-і Ф Ск+і, 1 <І<к,
ІІа. 'В-^+і фФ^/х) —> ® Т^к+і(м) і І; к > 0, р Є С,
ІІЬ. £^+1 ® 2?*(/и) -+^0 Ан-і(м), і, к > 0, р є С,
III. £>,-і(/х) ® Т>к+1(р) —> Т>^р) ф 2)*(/х), l ІУ- ©^і^Мм*) -> 4»®^. Мі / Мі при і Ф і, щ Є С, р+д + 1 = X] кі-

Орбита пучка 2 примыкает6^ к орбите пучка "Р тогда и только тогда, когда разбиения £>(р, 2), 93(2) и -£(2) можно получить из разбиений 5)(/х, Р), 9Я(Р) и £(Р) при помощи одного из следующих действий [15]:
ЛІ. Минимальное понижение £(Р) или 1Н(Р), не изменяющее самый левый столбец.
А2. Удаление самой правой одиночной клетки 9К(Р) или £(Р) и одновременное добавление одной новой клетки к 3)(/х,Р) для любого /х Є С.
Л?. Минимальное повышение Э(Р).
Л^. Удаление всех клеток в нижнем ряду каждой из диаграмм 39 (/х, Р) и такое одновременное добавление одной повой клетки к каждому (р(Р), р = 0,..., і и г?(Р), д = 0, — < — 1, где & — суммарное число удаленнных клеток,
что новую клетку получает каждый ненулевой столбец.
Правило А1 соответствует преобразованиям 1а и 1Ь, правило А2 — преобразованиям На и ПЬ , правило АЗ — преобразованию III, а правило А4 — преобразованию IV. На рис 2 изображена серия примеров, иллюстрирующих применение этих правил. Примыкания пачек описываются правилами Аі, В2, АЗ, В4 и В5 (см. [15]):
В2. То же, что и правило А2, но собственное значение у, к которому добавляется клетка, должно быть новым (т.е. отличным от уже имеющихся), так как иначе этого же результата можно добиться последовательно применяя правила А 2 и В5.
В). То же, что и правило А), но удаление нижнего ряда всех диаграмм не должно приводить к полному исчезновению ни одной из них (так как в противном случае это можно было бы сделать, используя сначала правило В5, а затем правило А4), за исключением того случая, когда пучок имеет менее двух собственных значений
6'См. определение на стр. 28.