Квазираспознаваемость конечных простых групп по множеству порядков элементов

• Автор: Алексеева, Оксана Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 60 с.

1 Обозначения, определения и предварительные результаты

1.1 Обозначения и определения

1.2 Предварительные результаты

2 Квазираспознаваемость конечных простых групп, граф Грюнберга-Кегеля которых имеет по крайней

мере три компоненты связности

2.1 Доказательство теоремы 2.1

2.2 Доказательство теоремы А

* 3 Квазираспознаваемость конечных простых групп

3Г>4(д) и Г4(д)

3.1 Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп 3Л4(д) и Г4(д), д нечетно

(доказательство теоремы В)

3.2 Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп 3Л4(д), д четно
(доказательство теоремы С)
Список литературы

Изучение конечных групп по свойствам порядков их элементов — известная и актуальная задача теории групп. Необходимость изучения изменения множества порядков элементов конечной группы при её расширении впервые возникла в 1956 г. в классической работе Ф. Холла и Г. Хигмана [29].
Пусть (? — конечная группа. Обозначим через ы'(С') множество всех порядков элементов группы О. Конечная группа С называется распознаваемой (по множеству порядков элементов), если для любой конечной группы Н с ш(Н) = ш( В 1984 г. Ши [37] доказал распознаваемость группы Р5Ь^(7)- Этот результат положил начало широкому направлению исследований распознаваемости групп. Так как конечная группа с нетривиальной разрешимой нормальной подгруппой нераспознаваема, то проблема распознаваемости во многом сводится к случаю почти простых групп. К настоящему времени по этой проблеме получено большое количество результатов (см. обзор В.Д. Мазурова [33]).
Множество ш(С) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга-Кегеля) С К (С) группы (7, в котором вершинами служат простые делители порядка группы (7 и две различные вершины р и ц соединены ребром тогда и только тогда, когда С содержит элемент порядка рд. Множество ш((7) частично упорядочено относительно делимости и однозначно определяется подмножеством р(С) своих максимальных по делимости элементов. Обозначим через щ = /р(<7) множество тех п 6 /ДО), для которых каждый простой делитель числа п принадлежит 7Г,. Обозначим число компонент связности графа О К {С) через {(С), а множество его связных компонент — через {7Г2(О) | 1 < г < при этом для группы
С четного порядка считаем, что 2 6 лДО).

Грюнберг и Кегель доказали следующую структурную теорему для конечных групп с несвязным графом простых чисел.
Теорема Грюнберга-Кегеля [39, теорема А]. Если С — конечная группа с несвязным графом (УК ((5), то верно одно из следующих утверждений:
(а) (У — группа Фробениуса;
(б) б? = АВС, где А и АВ — нормальные подгруппы группы (У, АВ Щ и ВС — группы Фробениуса с ядрами А и В и дополнениями В и С
соответственно;
(в) С является расширением нилъпотентной тс1(0)-группы посредством группы А, где 1пп{Р) < А < Аы(Р), Р — простая неабелева группа с t(G) < t(P) и А/Р — 7Г1 (б)-группа.
Из этого результата следует, что если С - неразрешимая группа с несвязным графом С К (С), не изоморфная группе Фробениуса, то (У имеет единственный неабелев композиционный фактор Р, для которого Д(У) < Ь(Р).
В 1981 г. "Уильямс, ученик Грюнберга, в работе [39] получил явное описание связных компонент графа С К (С) для всех известных конечных простых неабелевых групп С, кроме групп лиева типа четной характеристики.
* В 1989 г. А.С. Кондратьев в работе [18] получил описание связных
компонент графа СК(С) для оставшегося неисследованным случая, когда (У — конечная простая группа лиева типа четной характеристики.
В работе.[19] было показано, что для любой конечной простой группы Р с Д-Р) > 1 справедливо равенство |дДР)| = 1 при г > 1; пусть щ = пг (Р) обозначает единственный элемент из р.,(Р) для г > 1. Отсюда и из упомянутой выше работы Уильямса следует, что если С — конечная группа с несвязным графом Грюнберга-Кегеля, для которой выполняется случай (в) теоремы Грюнберга-Кегеля, и Р — неабелев композиционный фактор в С, то {та;((У) г > 1} С |гц(Р) | г > 1}.
Результаты о конечных группах с несвязным графом Грюнберга-Кегеля нашли большое применение в исследованиях распознаваемости конечных групп по множеству порядков элементов (см. [33]). До последнего времени большинство групп, для которых был решен вопрос распознаваемости, имели несвязный граф простых чисел.
Первый этап решения вопроса распознаваемости конечных простых групп с несвязным графом Грюнберга-Кегеля заключается в доказа-

1 и гк — д2 = 1. По лемме 1.2.5 это возможно лишь при д — 2, что противоречит предположению д > 2.
Пусть д2 делит гк +1 . Тогда гк + 1 — д2п, Для некоторого а Е N. Если а > 1, то (г — б1)(д2 — 1) = га(д2а — 2); противоречие. Следовательно, а = 1 и д2 — гк = 1. По лемме 1.2.5 это возможно лишь при д < 3; противоречие.
6) Пусть Р = Ар_1(г), где р — нечетное простое число И (р,г) ф (3,2), (3,4) при е = +. Тогда
ГР — е 1 4 9 , .
ЧА~Ч2 +1, (3.9)
(г - б1)(р,г - ЄІ)
откуда — (р, г ~ с1) (д4 — д2 + 1). Вычитая единицу из обеих частей последнего равенства, получим г= (р,г —е1)(д4 —д2 + 1) —1, откуда
гр~г — 1 (р, г — б1)д2(д2 — 1) + (р, г — б1)

(3.10)
Пусть г—єі — р. Тогда из леммы 1.2.5 получаем г = 2к. Предположим, что б = +. Тогда к > 2, 4 делит д2, а по 3.10 число г делитрд2(д2 — 1)+г — 2, что невозможно. Итак, є = —. Если р = 3, то равенство 3.10 приводит к противоречию. Поэтому р > 3 и к > 1. Равенство 3.9 записывается в виде
гр + 1 9 ,
(г + 1)2 ~ 1 = 9 (д ~
поэтому т-(гр_1 — г — 2) = (г + 1)2д2(д2 — 1). Так как г и д чётны, получаем 2г = д2, следовательно, гр — г (г + 2) = (г + 1)22г(2г — 1). Таким образом, гр~2 = 4г2 + 6г + 1; противоречие. Итак,
г — єі ф р. (3-11)
Оценим число г сверху некоторой функцией от д. Если е = +, то из 3.9 следует, что
д4 > д4 - д2 + 1 - — > гр~2.
(г - 1)(р,г - 1)
Пусть с = —. Тогда из 3.10 следует, что
4 4 2 1 4
д > д - д - — +
{р,г +1) (г+1)(р,г+1)