Асимптотическое распределение точек квазирешеток

• Автор: Красильщиков, Василий Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 126 с.

Оглавление
Введение
1 Сильное вложение решеток
§1 Основные определения и свойства. Общий случай произвольного (3
§2 Случай (3
§3 Случай (3 = {2а)
§4 Случай /3 = (За)
2 Слабое вложение решеток
§1 Общий случай. Основные определения и свойства
§2 Частные случаи
3 Описание и оценки остаточного члена проблемы распределения дробных долей
§1 Основные определения кусочно-линейных функций
§2 Свойства функции г(а,п,11)
§3 Поведение г(а, п, 1), как функции от
4 Спектр и распределение квазирешеток по произвольному
модулю

§1 Основные определения и теоремы равномерного распределения по произвольному модулю
§2 Некоторые свойства спектра
§3 Описание функции распределения
§4 Приложение функции распределения к описанию спектра
Литература

Условные обозначения
[.х] - целая часть х;
{х) - дробная часть х;
ТИоо(а, /1,2) - бесконечные разбиения, состоящие из интервалов двух длин;
N(0, п, I) - количество точек последовательности {ка), попадающих в интервал I;
г(а, п, I) - остаточный член проблемы Гекке-Кестена распределения дробных долей {ка) на интервале I;
РЬ{х) - множество кусочно-линейных на отрезке [0; 1] функций;
Р(/(-г’)) “ количество точек нелинейности кусочно-линейной на отрезке [0; 1] Функции /(ж);
т'(е) - функция распределения последовательности хп} по произвольному модулю /г; г? = яирщ{па)е11 г(а, п, /х);
= №$п,{па)€11 1) )
=8ирП1(па)е/яг(а1п1/1);
2 Йп,(па)€/2 -1)

Сформулируем необходимое и достаточное условие сильного вложения
1, если X > у,
О, если X < у.
решеток. Определим функцию [а; > у]: [х > у]
Определим функции:
г? = sup r(a,n,Ii),r7 — inf r(a.n.Ii),
n,{na)e[0;l-e) n,(na)6[0;l—at)
r% = sup r(a,n, = inf r(a,n,Ii).
n,(na:)G[l—e*;l) n,(na)6[ 1 o:;l)
Теорема 1.12 Решетка L сильно вкладывается в разбиение
Tilco(a, Zi, I2) тогда и только тогда, когда выполняется система
неравенств:
' h > (1 - a)(ta>,ll(Zmax - Imin),
2 г> *'(Jmax L«)i
Вначале докажем следующие леммы.
Лемма 1.2 Значение функции N(a,n, Д) вычисляется по формуле для всех натуральных п:
N(a,n,Ii) = [(n + 1)(1 — a)] + 1.
Доказательство. Определим функцию: F(n) = [(n + 1)(1 — a)] + 1. Покажем, что функции F(n) — N (а, п. Д) для всех целых п. Для этого воспользуемся леммой 1.1. Рассмотрим значения этих функций при п = 1: jV(a:, 1,Д) = F( 1) = 1. Теперь рассмотрим разности ДД(тг) = F(n) — F[n — 1) и AN(a, п, Д) = N(a, п, Д) — N(a, п— 1, Д). Из определения N (а, п, Д) следует, что при натуральных п
, 1, если (па) € [0; 1 — а),
AN(a,n,h)={ (1.29)
0, если (па) € [1 — а; 1).