Слойно проективные решетки

• Автор: Назырова, Юлия Абдулловна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 77 с.

Оглавление
Введение
1 Общие свойства и примеры слойно проективных решеток
1.1 Основные определения и вспомогательные утверждения
1.2 Свойства слойно проективных решеток
1.3 Примеры слойно проетивных решеток
2 Слойно проективные решетки и проективные геометрии
2.1 Слойно проективные решетки размерности
2.2 Слойно проективные решетки большой геометрической размерности
3 Слойно проективные решетки малой геометрической размерности
3.1 Послойный подъем координат
3.2 О слойно проективных решетках высоты
Список литературы
Введение
Теория решеток является одним из основных разделов современной алгебры. Теоретико-решеточными понятиями пронизана не только алгебра. Методы теории решеток широко используются в математической логике, функциональном анализе, теоретической физике, теории вероятностей и других науках.
Место теории решеток в общей алгебре во многом определяется тем, что строение алгебраических систем (групп, колец, модулей и т.п.) часто выясняется путем анализа связанных с ними решеток. Так, например, в группах были выделены решетки подгрупп, нормальных подгрупп, решетки смежных классов, решетки централизаторов и другие виды решеток, строение которых существенно влияет на строение самой группы. Этой тематике посвящено огромное число статей. Основные из полученных результатов по групповым решеткам опубликованы в монографиях [9] и [16].
Одной из важнейших проблем теории решеток является проблема представимости данной решетки решеткой подалгебр некоторой алгебры. Классическим результатом в этом направлении является утверждение о том, что неразложимая конечная модулярная решетка с дополнениями является проективной геометрией. Отсюда следует, в частности, что, если размерность п этой решетки не менее 4, то она изоморфна решетке подпространств п-мерного линейного векторного пространства над конечным полем ([6], теорема 4.10). Существенное обобщение этого утверждения содержится в работе [14], где доказано, что любая аргова при-марная решетка геометрической размерности не менее трех изоморфна решетке всех подмодулей конечно порожденного модуля над вполне при-марным однорядовым кольцом. Можно привести и ряд других не менее значимых результатов о представимости решеток решетками подалгебр.
Проблема представимости данной решетки решеткой подгрупп некоторой группы была поставлена М.Судзуки [9] более сорока лет назад. В общем виде эта проблема была решена Б.В.Яковлевым [11]. Но вопрос о представимости конечной модулярной решетки решеткой подгрупп конечной абелевой группы все еще открыт. Единственный известный автору результат здесь получен С.А.Анищенко [1] для решеток размерности два.
Один из подходов к решению этой задачи заключается в следующем.

Нужно выделить некоторые свойства решетки подгрупп конечной абелевой группы и доказать, что любые две решетки, удовлетворяющие этим свойствам, изоморфны. Из этого утверждения и будет следовать, что любая решетка, удовлетворяющая указанным свойствам, представима решеткой подгрупп некоторой конечной абелевой группы. Так как конечная абелева группа представима в виде прямого произведения своих си-ловских р-подгрупп, то в силу теоремы 1.4 из [9] ее решетка подгрупп является прямой суммой решеток подгрупп силовских множителей. Поэтому при решении проблемы изоморфизма достаточно ограничиться р-группами.
Отметим, что если С — решетка подгрупп конечной абелевой р-группы, то С обладает следующими свойствами:
а) С — конечная модулярная решетка;
б) если А — неразложимый элемент из С, то интервал [О, А] является цепью, т.е. А — цикл;
в) С обладает инволютивным антиавтоморфизмом;
г) если В — сумма элементов из С, покрывающих А, то интервал [А, В] (в дальнейшем такой интервал будем называть слоем решетки С) является дезарговой проективной геометрией над полем СП^р).
Ослабляя несколько свойство в), дадим следующее определение:
Определение.
Слойно проективной решеткой назовем конечную модулярную решетку С, обладающую следующими свойствами:
1 )каждый элемент из С совпадает с суммой циклов, в него входящих, и произведением коциклов, его содержащих;
2) любой слой решетки С является дезарговой проективной геометрией над полем ОВ(рк) (числа р и к фиксированы для данной решетки).
Пусть С — конечная абелева р-группа. Тогда С представима в виде прямого произведения циклических групп. Пусть
£ = П (а;) —

такое представление, и порядок элемента а,- равен рт'.
Будем считать,что
т > т2 ■ • • > тп-

подпространств т{у мерного линейного векторного пространства
над полем ОР{р) (См. пример В.)
Следствие 3. Правгыьные С -решетки (см. пример С) одинакового типа (т1,т2, ■ ■ ■ ,тп,р), имеющие геометрическую размерность больше 2, изоморфны и, следовательно, представимы решеткой централизаторов некоторой группы.
Следует из четности геометрической размерности правильной С-решетки ([2], теорема 4).
Следствие 4. Аргова примерная решетка типа (т1,т2, • • ■ ,тп,р), имеющая геометрическую размерность больше 2, изоморфна решетке подгрупп конечной абелевой группы.
Доказательство теоремы 2.
В работе [14] доказано, что аргова примарная решетка С геометрической размерности не меньше 3 изоморфна решетке всех подмодулей конеч-нопорожденного модуля М над вполне примарным однорядовым кольцом К. Но из построения кольца /С не видно, будут ли у решеток одинакового типа соответствующие кольца изоморфны и, как следствие, будут ли изоморфны сами решетки?
Предположим, что решетка £ имеет тип
(п11,т2,-■ ■ ,тп,рк) и т = ш2 = ш3 = т.
Так как размерность модуля М равна числу п, то для доказательства теоремы 2.3 нам достаточно показать, что в случае к — 1 кольцо /С изоморфно кольцу многочленов Р[х/{хт).
Кольцо К строится в [14] следующим образом.
Пусть
Ь = А + Л-2 + ... + Ап -— представление единицы решетки С в виде суммы независимых циклов,
1{А) = 1{Аф) = 1{А$) = т.
Положим
Т = .4-2 + ... + Ап, а через С'т обозначим множество дополнений элемента Т, т.е.
Ст = {X е СХ + Т = Т,X ■ Т = 0}.