Расширения обобщенных четырехугольников и их автоморфизмы

• Автор: Хамгокова, Мадина Мухадиновна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 73 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. Предварительные сведения

Глава 2. Расширения обобщенных четырехугольников 0(5(4, 1)

§ 2.1. Локально 0(5(4,4)-графы

§ 2.2. Вполне регулярные локально 0<5(4, бДграфы

Глава 3. Расширения обобщенных четырехугольников С<5(5. 3)

§ 3.1. Вполне регулярные локально 0(5(5, 3)-графы

§ 3.2. Дистанционно регулярные локально псевдо 0(5(5, 3)-графы

Глава 4. Автоморфизмы расширений обобщенных четырехугольников

§ 4.1. Автоморфизмы сильно регулярнго графа с параметрами (322,96,20,32)

§ 4.2. Автоморфизмы сильно регулярнго графа с параметрами (322, 96, 20, 32), в котором окрестности вершин — точечные графы для од(5,з)
Литература

Введение
Актуальность темы исследования. Для единого представления конечных простых групп перспективным направлением является поиск такого класса конечных геометрий, что каждая конечная простая группа действует флаг-транзитивно на некоторой геометрии и все геометрии этого класса допускают классификацию. Например, класс билдингов Титса характеризует группы лиева типа [11]. Позднее в этом направлении возникли задачи, не связанные с групповым действием. В частности, такой является задача классификации дистанционно регулярных графов [3].
Пусть Ь{Кп) — реберный граф полного графа Кп на п вершинах или в других обозначениях треугольный граф Т(п). Этот граф является сильно регулярным графом с параметрами (п(п — 1)/2, 2(п — 2), п — 2,4).
Реберный граф Ь(Кт^п) полного многодольного графа Кт<п является ко-реберно регулярным графом с параметрами (тп,т + п — 2,2). Граф Ь(Кт^п) называют т х п-решеткой. При т = п решетчатый граф является сильно регулярным графом с параметрами (п2, 2п — 2, п — 2, 2).
Дж. Зейдель [10] классифицировал все сильно регулярные графы с наименьшим собственным значением —2. Дж. Зейдель показал, что кроме треугольных графов Т(п) и решетчатых п х п-графов, сильно регулярными графами, которые имеют наименьшее собственное значение равно —2, являются только полные многодольные графы Кпх2, графы Петерсена, Шрикханде, Клебша, Шлефли и три графа Чанга.
В работе рассматриваются неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а, Ь - вершины графа Г, то через Да, Ь) обозначается расстояние между а и 6, а через ГДа) - подграф графа Г, индуцированный множеством вершин, которые находятся на расстоянии і в Г от вершины а.
Подграф Г! (а) называется окрестностью вершины а и обозначается через [а]. Через ах обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром а.
Граф Г называется регулярным графом степени к, если [а] содержит точно к вершин для любой вершины а из Г.
Граф Г называется реберно регулярным, графом с параметрами (щА;, А), если Г содержит V вершин, является регулярным степени к, и каждое ребро из Г лежит в А треугольниках.
Граф Г называется вполне регулярным графом с параметрами (н, к, А, р), если Г реберно регулярен с соответствующими параметрами и подграф [сг]П[6] содержит р вершин в случае <і(а, Ь) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом.
Число вершин в [а] П [Ь] обозначим через А(а,Ь), если сі(а,Ь) = 1, а соответствующий подграф назовем А -подграфом.
Если б(а,Ь) = 2, то число вершин в [а] П [6] обозначим через р(а,Ь), а соответствующий подграф назовем р-подграфом.
Если вершины и, ге находятся на расстоянии і в Г, то через Ъфи, ги) (через Сі(и,ги)) обозначим число вершин в пересечении Г,-+1(гг)
(Гг-_!(г*)) с Г(ш). Заметим, что в реберно регулярном графе число Ь(и, га) не зависит от выбора смежных вершин и, ш и равно Ь = к — А — 1.
Граф Г диаметра б называется дистанционно регулярным с массивом пересечений {бо, Ьі,..., сі,..., сгф, если значения Ьфи, ш) и сфи, га) не зависят от выбора вершин и, о на расстоянии г в Г для любого г — 0,..., д.
Пусть Т — некоторый класс графов. Граф Г назовем локально Т-графом, если [а] лежит в Т для любой вершины а графа Г. Если при этом класс Т состоит из графов, изоморфных некоторому графу А, то граф Г назовем

Г2(и) П Г2(г), иначе для вершины х Е [р] ПГ2(и) ПГ2(г) подграф Хо([гг] П [ж]) П [ж] содержит р и 12 вершин из [ж] П [г]. Если с1(р, г) = 2 и у Е [р] П [г], то для любой вершины х Е Г2(«)П[у] подграф [ж]П[р] содержится в [г]. Поэтому [ж]П[р] = [р] П [г], противоречие с тем, что Г2(гг)П[ж]П[г/] содержит 12 вершин, смежных с 12 вершинами из [г] П [р]. Значит, с1(р, г) = 3 и Г2(н) = ГДД, противоречие. Утверждение (3) доказано.
Допустим, что для некоторой вершины го € [гг] подграф Г4(ш) пуст. Пусть подграф У получается выбрасыванием вершин го. г из объединения геодезических путей между тяг. Тогда для ж Е [го] П XI подграф 2 (ж) содержит объединение четырех изолированных 4-клик из [го] и гиперовал из [г]. Для у Е [ДпУ подграф У (у) содержит гиперовал из [го]. Ввиду леммы 3.1 степень г в графе Хо([го] П [г/]) П [у] равна 2 или 4, поэтому степень у в графе У П [г] не меньше 16, и подграф [г] П У (г/) содержит объединение четырех изолированных 4-клик. Далее, число ребер между У П [г] и Г3(го) П [г] не больше 75 • 4, поэтому Гз(го) П [г] содержит вершину г', смежную не более чем с 14 вершинами из У П [г]. Теперь некоторая 5-клика Ь из [г] П [г' содержит не более 3 вершин из У, противоречие с тем, что для у 6 УПУ подграф Х0([го]П[у])П[у] содержит 3-клику.
Итак, Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {96, 75, 12,1; 1,12, 75, 96}
Замечание. Если Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {96, 75,12,1; 1,12, 75,96}, то имеем противоречие с тем, что он имеет собственные значения 01 = 24, 03 = —4 е дробными кратностями.
Из лемм 3.2-3.4 и замечания следует теорема.
В леммах 3.5-3.6 предполагается, что Г — дистанционно регулярный локально (3(3(5,3)-граф с массивом пересечений {96, 75, 62,..., Ъ^-ь 1, с2,..., сД.