Классы скрученной сопряженности в линейных группах

• Автор: Насыбуллов, Тимур Ринатович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 104 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Общая теория групп

1.2 Классы скрученной сопряженности

1.3 Теория колец и полей

1.4 Теория линейных групп

1.4.1 Общая и специальная линейные группы

1.4.2 Симплектические группы

1.4.3 Ортогональные группы

1.5 Группы Шевалле
1.5.1 Группы Шевалле нормального типа
Глава 2. Свойство для линейных групп
2.1 Группы Шевалле над кольцом
2.1.1 Группы Шевалле типа
2.1.2 Группы Шевалле типа Д, Д
2.1.3 Группы Шевалле типа С;
2.2 Группы Шевалле над полем
Глава 3. Класс скрученной сопряженности единичного элемента
3.1 Простейшие свойства, известные результаты и примеры
3.2 Внутренние автоморфизмы
3.3 Простые группы и группы подстановок
3.4 Абелевы, нильпотентные и разрешимые группы
3.5 Группы Шевалле
Заключение
Литература

Введение
Актуальность и степень разработанности темы исследования
Классы сопряженности в группе отражают свойства самой группы. Например, один из вопросов, сформулированный на заре развития комбинаторной теории групп, звучал так: существует ли бесконечная группа с конечным числом классов сопряженности? В 1949 Г. Хигман, Б. Нойман и X. Нойман [1] построили бесконечно порожденную группу с конечным числом классов сопряженности. Позднее С. Иванов (см. [2, теорема 41.2]) построил пример конечно порожденной группы с этим свойством. Затем Д. Осин [3] привел пример конечно порожденной бесконечной группы, в которой любые два неединичных элемента сопряжены, т. е. имеющей два класса сопряженных элементов.
Обобщением классов сопряженности являются классы скрученной сопряженности. Более точно, элементы х и у группы С называются (скру-ченно) ^-сопряженными, где (р - некоторый эндоморфизм группы, если существует такой элемент 2 £ б, что х = гу<р(г~1). В последние годы много работ посвящено изучению классов скрученной сопряженности в различных классах групп (см. обзоры [4-6]).
Изучение свойств скрученной сопряженности мотивировано топологической теорией неподвижных точек отображений, именуемой также теорией Нильсена-Райдемайстера. В 1927-1932 гг в цикле статей [7-9] Я. Нильсен изучал гомеоморфизмы поверхностей и определил классы неподвижных точек. Впоследствии К. Райдемайстер использовал алгебраические методы в теории Нильсена для произвольного компактного многогранника [10]. В этой работе появляются классы скрученной сопряженности групп гомеоморфизмов.
Пусть / : X —> X - отображение компактного топологического пространства X на себя; р : X —» X - универсальное накрытие пространства X

и / : X —> X - поднятие отображение /, т. e.pof = /op. При этом два поднятия /, /' называются сопряженными, если существует 7 € Г = 7Тх(ЛГ), такое что /' = 70/о7-1. Подмножество p(Fix(f)) называется классом неподвижных точек отображения /, определенным классом поднятия [/]. Класс неподвижных точек называется существенным, если его индекс отличен от нуля. Число классов поднятий отображения / (и, следовательно, число классов неподвижных точек) называется числом Райдемайстера отображения / и обозначается R{f). Число существенных классов неподвижных точек называется числом Нильсена отображения / и обозначается N(f). При этом числа N(f) и R(f) являются гомотопическими инвариантами отображения /. Числа Лг(/) и Д(/) тесно связаны между собой и являются главными объектами изучения теории Нильсена-Райдемайстера.
С другой стороны отображению / соответствует эндоморфизм р = /о (автоморфизм, в случае когда / - гомеоморфизм) фундаментальной группы 7Ti(X). При этом число классов (р-сопряженности эндоморфизма <р совпадает с числом Райдемайстера R(f), и потому называется числом Рапдемайсте-ра эндоморфизма tp и обозначается символом R( Если Q — конечная группа, то классическая теорема Бернсайда [11, §10] утверждает, что число классов сопряженности в группе G равно числу классов эквивалентности ее комплексных (и, следовательно, унитарных) неприводимых представлений. В настоящее время активно изучается аналог этой теоремы для классов скрученной сопряженности. Ищется связь между числом R(ip) и числом неподвижных точек отображения, индуцированного автоморфизмом <р на множестве всех классов эквивалентности унитарных представлений группы G.
Говорят, что группа обладает свойством R00) если число Я(<р) бесконечно для всякого автоморфизма <р. Вопрос о том, какие группы обладают

2. Ф =■ В. Целочисленными элементарными преобразованиями матрица Картана корневой системы типа Я; приводится к виду
<Иад(1,..., 1, 2).

Произвольный элемент группы Н записывается в виде
^2,-1 ,-1/24-1 4-1 4.2 4-1 4-1 42 4-2 4-1 ,2ч
1 2 Иг Ь2Ь3 > ■ ■ • 111-2Ь1-211 -1: 11-211-1Ь1 ^1-14 )■
Если положить
и = 1,
/(_г = (а|аЦ{... аг-г+Ц“1, г = 1,... ,1 - 1,

то /гх = Ь.а1 (/-1)... /га1(/г), /г-2 = /Ц1/! — искомые элементы.
3. Ф = С;. Целочисленными элементарными преобразованиями матрица Картана корневой системы типа С/ приводится к виду
йгад(1,..., 1, 2).

Произвольный элемент группы II записывается в виде
/72,-1 4-1j.2j.-1 4-1 4.2 4-1 ,-2 ,2
2 > Ь1 ('2£'3 : • ■ • > 1—2 1—11 ’ )■
Если положить
Ц = 1,

и = (аЦ1аг2-2. .. аг_1)—1, г =
то /ц = /г-аЦЦ)... /г,а,(/(), /12 = /Цх/г — искомые элементы.
4. Ф = Д. Целочисленными элементарными преобразованиями матрица Картана корневой системы типа Д приводится к виду
с/гад(1, ...,1,4) если / — нечетно,

(Иад{ 1, ...,1,2, 2) если I — четно.