Особенности на некоторых многообразиях Фано

• Автор: Каржеманов, Илья Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 116 с. : ил.

Оглавление
1 Введение
1.1 История поставленных задач
1.2 Основные результаты
1.3 Описание диссертации и используемых методов
2 Вспомогательная часть
2.1 Основные обозначения и определения
2.2 Особенности алгебраических многообразий
2.3 Результаты из теории минимальных моделей
2.4 Торические многообразия
3 Многообразия Фано с каноническими особенностями
3.1 Формулировка основного результата, соглашения и предварительные утверждения
3.2 Стягивания специального типа
3.3 Общий случай: редукция к лог-расслоению Мори
3.4 Случай стягивания на кривую
3.5 Случай стягивания на поверхность
3.6 Следствия
4 Многообразия Фано—Энриквеса
4.1 Формулировка основного результата, соглашения и предварительные утверждения
4.2 Случай малой степени
4.3 Общий случай

Глава
Введение
1.1 История поставленных задач
На рубеже 19-20-го веков, с расцветом итальянской школы алгебраической геометрии, в математику пришло множество красивых геометрических конструкций и методов. Так, стало ясно, что геометрия проективных алгебраических многообразий существенно определяется свойствами линейных систем дивизоров на этих многообразиях. Исходя из этого наблюдения были построены бирегулярная теория неособых проективных кривых и бирациональная теория неособых проективных поверхностей. Это послужило хорошим заделом для классификации алгебраических многообразий в размерности ^ 2 над полем комплексных чисел (см. [27], [56], [8], [17], [71], [72]).
Однако в отношении геометрии алгебраических многообразий высших размерностей оставалось больше вопросов чем ответов. Было поставлено огромное число задач, часть из которых получила лишь интуитивные решения, не удовлетворяющие современному уровню математической строгости. Более того, некоторые доказанные утверждения были ошибочны. Тем не менее, идеи и предсказания итальянских алгебраических геометров по сей день служат большим подспорьем в решении классических задач.
Одним из ярчайших представителей итальянской геометрической школы был Дж. Фано. В своих работах он, в частности, интересовался проблемой Люрота для алгебраических многообразий в размерности ^ 3 (см. [18], [19], [20]). Это привело его к изучению неособых алгебраических многообразий, близких к рациональным, а именно, многообразий с обильным антикаионическим дивизором. Такие многообразия по-

лучили впоследствии название многообразий Фано. В случае кривых единственным многообразием Фано является Р1. В размерности 2, согласно критерию Дж. Кастель-нево, многообразия Фано рациональны. Желая построить контрпример к проблеме Люрота в размерности 3, Дж. Фано изучал геометрию неособой трехмерной кварти-ки в Р4. Унирациональность общей такой гиперповерхности была доказана в работе [70]. С другой стороны, в [19], [20] Дж. Фано доказал, что всякая неособая трехмерная квартика в Р4 не рациональна, тем самым отрицательно решив проблему Люрота. Однако работы [19], [20] содержали много неясных и, зачастую, ошибочных утверждений (см. также [68]). Тем не менее, идеи Дж. Фано были восстановлены в работе [32], где было дано доказательство нерациональности неособой трехмерной квартики в Р4 на современном уровне математической строгости.
С другой стороны, многообразия Фано интересны и сами по себе, как представители весьма специфического класса алгебраических многообразий (во второй половине 20-го века, в рамках теории минимальных моделей С. Мори было осознано, что многообразия Фано являются естественными строительными блоками для многообразий отрицательной кодаировой размерности). В частности, итальянские геометры занимались задачей классификации неособых многообразий Фано. Так, в размерности 2 было дано полное описание соответствующих поверхностей (см. [14]), и на свет появились поверхности дель Пеццо. Трехмерный случай рассматривался Дж. Фано в работах [19], [20], [21]. Однако полное описание трехмерных неособых многообразий' Фано было получено почти полвека спустя в работах В. А. Исковских, С. Мори и С. Мукаи (см. [30], [31], [53]), в которых были усовершенствованы идеи самого Дж. Фано, а также применены мощные средства теории минимальных моделей, развитой в работах Ю. Каваматы, Я. Коллара, С. Мори, М. Рида, В. Шокурова и др. (см., например, [44], [51], [52], [79]).
Далее, случай особых многообразий Фано не менее интересен. Так, естественным дополнением к классу неособых трехмерных многообразий Фано как алгебраических многообразий, содержащих неособую КЗ поверхность в качестве обильного дивизора, служат трехмерные нормальные алгебраические многообразия, содержащие неособую поверхность Энриквеса в качестве обильного дивизора. Если потребовать еще, чтобы многообразия последнего типа не являлись конусами, то мы приходим к понятию многообразия Фано-Энриквеса. Существенно здесь то, что неособые трехмер-

• для двух конусов а, а' 6 Е пересечение а Л а' является гранью каждого из них.
Образующие конусов веера Е будем называть ребрами Е. Веер Е называется сим-плициалъным, если каждый конус в Е симплициален.
По данному вееру Е можно построить набор аффинных торических многообразий Ха, где а е Е. При этом для любых двух конусов а, а' е Е с общей гранью т многообразия Ха, Ха/ склеиваются по открытому множеству Хт.
Определение 2.4.5. Многообразие, склеенное из Ха. а 6 Е, приведенным выше способом, называется торическим многообразием, ассоциированным с веером Е и решеткой N, и обозначается Хъ,ы-
При этом, как и выше, имеется открытое вложение тора Т := (С*)71 в Xн,лг- Далее, имеется следующая характеризация полных торических многообразий:
Предложение 2.4.6 (см. [23, предложение 2.4]). Торическое многообразие Х-^,ы является полным, если и только если Е = V как множества.
Замечание 2.4.7. Все торические многообразия являются нормальными (см. [23, предложение 2.1]). Кроме того, из предыдущих построений следуют, что на торических многообразиях действует тор с открытой орбитой. Эти два свойства однозначно определяют класс торических многообразий среди всех алгебраических многообразий (см. [38]).
Всюду далее мы будем рассматривать только те веера, которые задают полные торические многообразия. Пусть X := Х^,,и - торическое многообразие, ассоциированное с веером Е и решеткой Аг, и и С X - открытое подмножество со свободным действием тора Т (см. замечание 2.4.7).
Теорема 2.4.8 (см. [23, предложение 3.4]). В предыдущих предположениях имеем:
• X и — и*=1 где д - число ребер веера Е, Л* - неприводимые (п — 1)-мерные орбиты действия тора Т на X;
• диаграмма
О —> Т —> Р1ст(Х) -5- Рш(Х) -4 О
II
О -> Т -4 ®£_1 Д- -4 С1Р0 -4 О