Мономиальные идеалы

• Автор: Шакин, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 114 с.

Современные методы теории базисов Гребнера позволяют сводить многие вопросы об идеалах в кольце многочленов в изучению мономиальных идеалов, которые имеют гораздо более простую структуру. В связи с этим особую важность приобретает исследование свойств мономиальных идеалов, в частности, их численных характеристик - функций Гильберта и градуированных чисел Бетти.
В 1927 Маколей [27] описал функции Гильберта всех однородных идеалов в кольце коммутативных многочленов А = к[х т„] над полем к. Он рассмотрел так называемые лекссегментные идеалы, т.е., мономиальные идеалы, однородные компоненты которых порождаются (как векторные пространства) старшими по лексикографическому порядку мономами соответствующей степени, и показал, что для всякого однородного идеала существу-(# ет лекссегментный идеал с такой же функцией Гильберта.
Результат Маколея оказался полезен не только с алгебраической, но и с комбинаторной точки зрения: лекссегментные идеалы имеют достаточно простое строение, что позволяет явно выписать численные ограничения, которым должна удовлетворять функция Г ильберта однородного идеала. Дальнейшее развитие, особенно в теории графов, комбинаторная интерпретация результатов Маколея получила в работах Клементса, Линдстрема, Лека (см. также работу Стенли [29]).
Оказалось, что лекссегментные идеалы обладают также интересными экстремальными свойствами. Например, теорему Маколея можно переформулировать следующим образом: если V - векторное пространство с базисом из однородных многочленов степени (1 и Ь - векторное пространство с базисом из старших по лексикографическому порядку мономов степени с? (лекссегмент-ное пространство) такой же размерности, то размерность пространства хК (хК порождено многочленами вида жД, где / € V) не меньше размерности пространствах!/, т.е., сбтхК > сНтхЛ. Г. Гоцман [18] исследовал пространства, для которых в предыдущем неравенстве достигается равенство (теперь такие пространства называются гоцмановыми). Он, в частности, показал, что

если V - гоцманово пространство, то xV - тоже гоцманово (теорема Гоцмана об устойчивости).
Другое следствие теоремы Маколея состоит в следующем: лекссегментный идеал имеет наибольшее число минимальных порождающих в каждой степени среди всех однородных идеалов с фиксированной функцией Гильберта. Иными словами, лекссегментный идеал имеет максимальные числа Бетти для всех г. Обобщение этого результата было получено в работах [10] и [23] (случай char к — 0), а также [28] (случай char А; > 0), где было показано, что лекссегментный идеал обладает максимальными градуированными числами Бетти среди всех однородных идеалов в кольце многочленов, имеющих такую же функцию Гильберта.
Параллельно с изучением свойств экстремальности лекссегментных идеалов, возник вопрос о возможности описания функций Гильберта однородных идеалов в фактор-кольцах кольца многочленов по мономильным идеалам с помощью различных модификаций понятия лекссегментного идеала. Одними из первых результатов в этой области были работы Крушкаля [26] и Катоны [25], которые описали с помощью лекссегментных1 идеалов функции Гильберта однородных идеалов во внешней алгебре2 Е — к(еi,... ,е„). Эти результаты имели важные геометрические приложения, так как позволяли описывать /-векторы (т.е., количество граней каждой размерности) симпли-циальных комплексов.
Обобщение результатов Маколея на более широкий класс идеалов было получено в работе [И], где были описаны функции Гильберта идеалов в фактор-алгебрах вида A/(xf-,... ,х^п), где d < • ■ • < dn < оо. Этот результат обобщал как теорему Маколея (d = ■ ■ ■ = dn = оо), так и теорему Крушкаля-Катоны (d = ■ ■ ■ — dn — 2).
Результаты работ [10], [23], [26] и [25] , наряду с развитием техник для изучения чисел Бетти ([14], [4], [1]), привели к появлению большого количества новых результатов в этой области.
Так, М. Грин [19] изучал свойства экстремальности лекссегментных пространств при факторизации по общим линейным формам. Впоследствии его
1Т.е., таких мономиальных идеалов во внешней алгебре, однородные компоненты которых порожда-ются (как векторные пространства) старшими по лексикографическому порядку мономами во внешней алгебре соответствующей степени.
^Рассмотрение функций Г ильберта однородных идеалов во внешней алгебре равносильно рассмотрению функций Гильберта однородных идеалов в фактор-алгебре А/{х )
результаты были обобщены на случай общих однородных форм в работах [22] и [17].
Целый цикл работ был посвящен обобщению неравенств для чисел Бетти, а также результатов Гоцмана, на случай внешней алгебры. В частности, в работе [3] доказано неравенство, аналогичное полученному в работах [10] и [23] для чисел Бетти над внешней алгеброй, а в работах [5] и [7] - для бесквадратных идеалов в кольце многочленов. Обобщение теоремы Гоцмана об устойчивости на случай внешней алгебры получено в работе [3].
Связь между результатами Гоцмана и Грина исследовалась в работе [15], где было показано, что всякое гоцманово пространство, является экстремальным в смысле теоремы Грина.
Наконец, частичное обобщение результатов Грина и Гоцмана на случай идеалов в фактор-кольце вида А/(ж* х^п) было получено в работе [16].
Целью данной работы является изучение численных характеристик (функция Гильберта, градуированные числа Бетти) мономиальных идеалов в кольце коммутативных многочленов и во внешней алгебре над полем.
Глава 1 носит вводный характер. В ней собраны сведения, необходимые для изложения материала остальных глав.
Глава 2 посвящена исследованию таких фактор-колец кольца многочленов, для которых возможно описать функции Гильберта однородных идеалов с помощью метода, предложенного Маколеем. В параграфе 1 предложен следующий подход к этой задаче: пусть И[1:п] - кольцо многочленов от п переменных над полем к, Л[1:пЦ - его однородная компонента степени с
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Мономиальный идеал I С А[1:п] называется лекссег-ментным, если его однородная компонента любой степени порождается как векторное пространство старшими мономами по лексикографическому порядку.
Пусть зафиксирован некоторый мономиальный идеал I С А[1п]. Идеал / С Л[1:п] называется I-лекссегмептным, если А = I + Ь, где Ь - некоторый лекссегментный идеал. Идеал I называется М-идеалом, если для всякого однородного идеала 7, содержащего /, существует /-лекссегментный идеал //(/) с такой же функцией Гильберта.
Классическая теорема Маколея [27] утверждает, что нулевой идеал является М-идеалом. Поэтому если I является М-идеалом, то будем говорить, что в А\'.п}/1 выполняется теорема Маколея.
CR-сжат (теорема 2.2.3), то TR{CRB) = В', т.е., TR(CRB) > TR(B) = CRTR(B) - противоречие. □
Таким образом, в классе сильно устойчивых идеалов все М-идеалы описаны.
3.3. Неравенство для чисел Бетти над кольцом многочленов
После того, как для фактор-колец по кусочно лекссегментным идеалам доказана теорема Маколея, естественно исследовать вопрос о возможности обобщения других результатов, связанных с ней, на случай кусочно лекс-сегментных идеалов. Одним из самых известных результатов, обобщающих теорему Маколея в кольце многочленов является неравенство для чисел Бетти однородных идеалов, полученное независимо в статьях [10] и [23]. В этом параграфе мы докажем следующее обобщение этого неравенства:
ТЕОРЕМА 3.3.1. Пусть char А; = 0. Пусть также I С Л[1:п] - кусочно лекссегментный идеал, J С Л[1:п] - однородный идеал, содержащий I, и LJ(J) - соответствующий I-лекссегментный идеал, тогда для всех г и j выполнено неравенство
PtRfi-n < <№V))-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим идеал Ginriex(J). По теореме 1.4.6 этот идеал сильно устойчив, и функции Гильберта идеалов Ginriex(J) и J совпадают. Кроме того, идеал Ginriex(J) содержит I, и l/(Ginriex(J)) — LJ(J). Также, в силу теоремы 1.4.6,
^ Aj'+TkGinnextJ)).
Поэтому достаточно доказать, что
только для сильно устойчивых идеалов J, содержащих идеал I.
ЛЕММА 3.3.2. Пусть М С Л4(ДД - обратно сильно устойчивое множество, тогда |ГД(М)| = тп(М).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, каждому элементу и € М с max(u) = п можно сопоставить и/хп 6 TR(M), поэтому ]ГЛ(М)| > тп(М). Пусть теперь и е М и г < п, тогда а/х,; = и1 /х„, где и1 = uxn/xi еМв силу обратной сильной устойчивости, следовательно, |ГД(М)| < тп{М). □