Сетевые подгруппы групп Шевалле и вопросы стабилизации К1-функтора

• Автор: Плоткин, Евгений Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 120 c. : ил

"лава I. Основные понятия
§ I. Группы Шевалле, скрученные группы Шевалле
§ 2. Базисные представления
плава 2. Разложение Шевалле-Мацумото
§ I. Постановка задачи
§ 2. Доказательство для классических групп
§ 3. Подрадикальный случай
§ 4. Случай поля
§ 5. Завершение доказательства
Глава 3. Сетевые подгруппы групп Шевалле
§ I. Сети и некоторые связанные с ними группы
§ 2. Частичные сети
§ 3. Сетевые подгруппы
§ 4. Унипотентные матрицы в сетевой подгруппе
§ 5. Сетевые подгруппы скрученных групп Шевалле
§'6. Параболические подгруппы в группе
Глава 4. Стабилизация К<-функтора для групп Шевалле нормальных и скрученных типов
§ I. Задача стабилизации К<-функтора для групп-Шевалле
§ 2. Теоремы о стабилизации
§ 3. Вложения А 5 Е6
§ 4. Вложения Е & Е 7 , Е7
§ 5. Вложение В з — Е*
§ 6. Окончание доказательства

§ 7. Некоторые нерегулярные вложения
§ 8. Сюръективная стабилизация К<-функтора для скрученных
групп Шевалле
Литература

Группы Шевалле над полем появились в 1955 году в работе Шевал-не [96] , и с этого момента началось их интенсивное изучение, которое привело к построению развитой теории. Она подробно излагается в монографиях Стейнберга и Картера — [76], [95]/ см. так-
*е [201, [2 <1, [59], [И], [85], [106] /.
В 1961 году Шевалле определил соответсвующие группы для случая произвольного коммутативного кольца [97] , которые и являются основным объектом рассмотрения настоящей работы.
Главным примером групп Шевалле являются разложимые классические группы, т.е. специальная линейная, симплектическая и ортогональные группы, отвечающие форме максимального индекса Витта. Изучению этих групп над полями и кольцами посвящено множество работ.У кажем лишь обзорные труды и некоторые последние работы [11, [2],
Ш, Ь2],Щ,[51],[S2],go],[61],[63],[65],[59],[?7]
С другой стороны, группы Шевалле над кольцами являются важным классом полупростых алгебраических групп / см. [<9] , [21] , [97] , Ш , И , [84] , [100] и т.д. /. Как известно, над полем каждая связная полупростая алгебраическая группа изоморфна соответсвующей группе Шевалле.
Можно сказать, что теория групп Шевалле над кольцами находится " посередине " между этими двумя теориями,и мы условно выделим в ней два направления. Во-первых, это естественный процесс получения аналогов результатов, известных для групп Шевалле над полями, во-вторых — решение новых задач, связанных со спецификой основного кольца. К первому относится,например,задание групп Шевалле об-

Если с* € I f , то получается скрученная группа Шевалле хр (Ф, Kd) . Если 0С€і2 , то имеет место изоморфизм р:&,(Ф,К*)« а(%Кы) . £тот изоморфизм осуществляется с юмощью отождествления орбит вида А=(яО или А-(Ы,d ) с корнями :истемы Фр и ХА (if = XoiCi) ИЛИ ХА(-Ь)Ч- xd(-t) (t ),
’де А еФр , о( Є Ф } і € R . Поэтому, если д= vh^U )азложение Шевалле-Мацумото, в группе ас<Рр,Кы) по корню А к >
— разложение в группе &Р(Ф,КЛ) по [усть, далее, , с{, J2> Є 13 — пара идеалов, таких что
и рассмотрим Wotß -W-tiО ПТр . Очевидно, что и т.к. p~i -р , ТО тЛр = . Факторсольцо есть прямая сумма изоморфных полей К ФК,
іа которой действует инволюция р--р(Х фу )= у ® X.
>ас смотрим группу в двух изоморфных представлениях
:о старшим весом ив сопряженном, со старшим весом
имеем р - р* , а для Ф = , р-р.
!сли f ■■ x.i(t) — хЯ(€) — связанный с графом автоморфизм
'руппы (йСФ.к),^) , то ясно, что переход ОТ С
эквивалентен действию автоморфизма f імеем CJ^ ^ й К* , если /= ^-р и разложение
[евалле-Мацумото в (&(Ф,К), /а) по корню сК переходит при номорфизме представлений в разложение по корню d в группе : &(ф,к),д) . Имеет место изоморфизм &р (Ф, КфК) — з&(Ф,К) , причем группа &(Ф,К) представлена в виде диаго-:али прямого произведения (&(<Р,К),Д)Х
а элементарных унипотентах изоморфизм ф действует следующим об-азом : Хо< (і Ф = ( X «*(■£) , X^C-t)) если d =■ с* ,
противном случае
*<* Ct, ®ta) xa(tt ® ЦУ =(хо!(Ч)х5(Ч), x*(t«)xa а,»,