Нетопологизируемые группы и уравнения над ними

• Автор: Трофимов, Антон Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 76 с.

Содержание
1 Введение и основные результаты.
2 Подход Ольшанского к построению групп с заданными свойствами [23]
3 Теорема вложения в нетопологизируемую группу
4 Об одной комбинаторной проблеме.
5 Число нерешений уранения в группе и нетопологизируемые группы без кручения
6 Совершенная нетопологизируемая группа
1 Введение и основные результаты.
Основные результаты этой работы связанны с исследованием групп, допускающих только дискретные групповые топологии (нетопологизируемые группы) и уравнений над ними. В третей, пятой и шестой главах приведены примеры нетопологизируемых непериодических групп, нетопологи-зируемой группы без кручения и совершенной нетопологизируемой группы. Четвертая глава посвящена известной комбинаторной проблеме совпадения многообразия бесконечных групп С тождеством ю(х 1, . . . , Хк) = 1 и класса бесконечных групп, в котором выполнено «почти тождество» ю(х1,...,хк) = 1.
Попытаемся более подробно описать круг исследуемых вопросов. Группа С, которая наделена структурой топологического пространства, называется топологической (непрерывной), если групповые операции непрерывны, т. е. непрерывны отображения х —>- т-1 и (х, у) ——У ху. Здесь нужно пояснить, что открытыми в О х С? считаются все те множества, которые являются объединениями подмножеств вида II XV, где II и V открыты в С?.
В 1946 г. А. А. Марковым в работе [18] был поставлен вопрос о существовании а) бесконечных б) счетных нетопологизируемых групп. Имеются ввиду отделимые топологии (когда для любых различных точек а и Ь найдется окрестность точки а не содержащая Ь). Спрашивается, всякую ли бесконечную (счетную) группу С можно превратить в топологическую группу путем введения на ней некоторой отделимой недискретной топологии? (Понятно, что всякая группа является топологической с дискретной топологией.) В несчетном случае отрицательный ответ был получен в работе Шелаха [25]. В счетном случае отрицательный ответ был получен А. Ю. Ольшанским в [22, 23] и позже модифицирован Морисом и Образцовым в [19]. Важно отметить, что, пример Ольшанского является факторгруппой по центральной подгруппе группы, построенной Адяном в [7] и является периодическим, а пример Мориса Образцова является квазициклическим.
В третьей главе речь пойдет о первом примере [37] нетопологизируемой группы, которая имеет кручение, но не является периодической, более того, в [37] показано, что любая счетная группа может быть вложена в один из таких примеров.
В августе 1984 года в г. Тирасполе на основе материалов семинара по топологической алгебре был выпущен сборник открытых вопросов по топологической алгебре [21]. В нем был сформулирован список открытых вопросов на два из которых удалось получить ответы.
Вопрос 1.1 (А. Д. Тайманов) «Допускает ли недискретную групповую топологию бесконечная группа автоморфизмов произвольной группы?»
Отрицательный ответ на этот вопрос вытекает из теоремы 6.2, в которой приводится пример совершенной группы, допускающей только дискретную групповую топологию [38]. (Напомним, что группа автоморфизмов совершенной группы АЫ(р) совпадает с исходной группой &.)
Вопрос 1.4 (П. И. Кирку) «Всякая ли счетная группа допускает недискретную групповую топологию? (Известные примеры нетопологизируемых счетных групп являются периодическими.)»
Существование группы без кручения, допускающей лишь дискретную групповую топологию, следует из теоремы 5.1 и следствия 5.3, опубликованных в [36].
Отметим, что согласно теореме Маркова [18], дополнение до единицы во всякой счетной нетопологизируемой группе должно разлагаться в объединение множеств решений конечного числа систем уравнений. В известных примерах бесконечных счетных нетопологизируемых групп эти разложения выглядят так:

& {<71? • • • ,9п} = 6 С? | дп = дД (1.1)

(пример Ольшанского [22, 23] и его модификации [19] ),
<2 {9ъ 92п} = {# £ 64 [#, а]" = 1} (примеры из [37]), (1.2)
{!} = {9 € С'||[с1г'([а,<7])с^1,у([6,^])] = 1} (примеры из [36]), (1.3)

где у(д) = Д (сДд~1адЬ)(-~1Уп')

Здесь <7$ и а — некоторые фиксированные элементы соответствующей группы О, а число п в обоих случаях является большим (по меньшей мере 665) и нечетным. Разложение (1.1) представляется максимально простым. Отметим однако, что уравнение ги(х) = 1, из примера (1.3) более замысловатое чем уравнения хп — а и [х,а]п — 1, фигурирующие в примерах (1.1)
Определение 2.31 Понятие градуированного копредставления и градуированной диаграммы , как и в пункте 2 определяется разбиением множе-
но определению.
Понятия j-napы клеток и приведенной диаграммы сохраняется без изменения (см. пункт 2).
Приведем далее аналоги лемм вап Кампена для свободных произведений. Отметим также, что впервые эти леммы сформулировал Линдон в [31, 32] и применил их в случае произведений с малыми сокращениями.
Теорема 2.32 Пусть IV — непустое слово в алфавите 211. Тогда IV — 1 в группе О, заданной градуированным копредставлением (2.8), тогда и только тогда, когда существует приведенная дисковая диаграмма над (2.8), метка контура которой графически равна слову ИА
Доказательство. Утверждение «тогда» доказывается так же, как и в лемме 2.1. Пусть, наоборот, УУ = 1 в О. Тогда как в лемме 2.1, строится дисковая диаграмма А', метка контура которой графически равна слову V такому, что V = IV в П. В силу теоремы 2.22 переход от V к IV может быть осуществлен с помощью преобразований вида:
1) замена подслова 040,2, где 01,02 £ 0/х буквой а, если а — 0.10,2 в (ах, 02, а могут быть единичными);
2) обратная замена а на при тех же условиях.
Очевидно, что такие преобразования метки контура диаграммы А' можно осуществить с помощью приклеивания к А' О-клетки с меткой контура а2а~1. В итоге получится дисковая диаграмма А с меткой контура УУ. Если она не является приведенной, то процесс удаления j -пар осуществляется также, как и в пункте 2. ■
Теорема 2.33 Пусть V и ¥ — два непустых слова в алфавите 211. Тогда они сопряжены в группе (?, заданной градуированным копредставлением (2.8), тогда и только тогда, когда существует приведенная кольцевая градуированная диаграмма над (2.8) с контурами р и д такими, что

ства слов 3% = Естественно, что С(0) = Е, а для г > О

(2.9)
Т{Р) = У, ч>{ч) = № 1.