Полигоны и мультиполигоны над некоторыми классами полугрупп

• Автор: Максимовский, Михаил Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 94 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Полигоны и частичные полигоны над полурешетками

1.1 Основные понятия теории полигонов и частичных полигонов

1.2 Свойства полигонов над полурешетками

1.3 Условия для полигона над полурешеткой

1.4 Частичные полигоны над полурешетками

2 Полигоны над цепями

2.1 Свойства полигонов над цепями

2.2 Деревья с условием минимальности

2.3 Полигоны над конечными цепями

2.4 Несвязные полигоны над цепями
3 Мультиполигоны над некоторыми классами полугрупп
3.1 Унитарные биполигоны и мультиполигоны
3.2 Связь полигонов с биполигонами
3.3 Неунитарные биполигоны и мультиполигоны
3.4 Биполигоны и мультиполигоны над полугруппами левых и
правых нулей
3.5 Подбиполигоны биполигонов
Список литературы

Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования. Полигоны над полугруппой, т.е. множества, на которых действует полугруппа, возникают в разных разделах алгебры и ее приложений. Понятие полигона является алгебраическим выражением понятия автомата [9, 11] (точнее, автомата Мура, т.е. автомата без выхода). Это означает, что все работы по алгебраической теории автоматов можно рассматривать как относящиеся к теории полигонов. Если обычный полигон над полугруппой является алгебраической интерпретацией автомата, то мультиполигоны можно интерпретировать как автоматы с несколькими входными алфавитами. Кроме того, полигон над полу- _ группой является универсальной алгеброй, операции в которой — унарные (умножения на элементы полугруппы). Частичный полигон является частичной универсальной алгеброй [12].
Теория полигонов является довольно молодым разделом общей алгебры, имеющим гораздо менее богатую историю, чем многие другие разделы, а теория мультиполигонов вообще находится на начальной стадии развития. Поэтому разработка этих теорий представляется актуальной математической задачей.
Понятие полигона над полугруппой аналогично понятию модуля над кольцом, ввиду чего теория полигонов развивалась под большим влиянием

Содержание
теории колец и модулей. Гомологическая классификация колец, т.е. исследование свойств кольца по свойствам категории модулей над этим кольцом, вызвала аналогичные вопросы в теории полигонов. По аналогии с модулями рассматривались артиновы и нетеровы, инъективные и проективные, плоские и свободные полигоны и т.д. Этими вопросами занимались многие математики России и зарубежья: М. Кильп [4, 28], В. Фляйшер [19, 20], П. Нормак [16, 31] (Эстония), Л. А. Скорняков [17], А. В. Михалев [3, 13, 28], И. Б. Кожухов [1, 2, 6, 24, 30] (Россия), М.Я. Комарницкий, Г.В. Зелиско [7] (Украина), У. Кнауэр [28, 31, 32], С. Булман-Флеминг [26], М. Петрич [32] и др. В работах [3, 13, 18] исследовались теоретико-модельные свойства полигонов. И. Б. Кожухов исследовал подпрямо неразложимые полигоны, т.е. полигоны, не разложимые в нетривиальное подпрямое произведение. Он доказал, что если порядки всех подпрямо неразложимых полигонов над полугруппой ограничены в совокупности, то полугруппа периодическая. Все подпрямо неразложимые полигоны состоят не более чем из двух элементов тогда и только тогда, когда полугруппа является полурешеткой [30].
В теории групп широко известной и развитой является теория представлений групп, причем рассматривались как линейные представления (т.е. представления линейными отображениями векторных пространств), так и представления подстановками (взаимно однозначными отображениями множества в себя). Аналогично этому рассматриваются представления полугрупп: как линейные представления, так и представления преобразованиями (не обязательно взаимно однозначными) множества. Теория представлений полугрупп тесно связана с теорией полигонов.
В работе В. И. Кима [29] множество изотонных отображений О (X, V)
Глава 1. Полигоны и частичные полигоны над полурошетками
стает быть верной. Например, для полурешетки X = {1, 2, 3}, 3 < 1, 3 < 2 мы имеем:
Ф(Х)

поэтому X и Ф(Х) не изоморфны.
1.4 Частичные полигоны над полурешетками
Рассмотрим теперь частичные полигоны над полурешетками. Частичный полигон является частичной универсальной алгеброй (см. монографию [12]). Частичный полигон можно интерпретировать как автомат, удовлетворяю-хций следующему условию: если произведение хв не определено, то автомат, находясь в состоянии х и, получив на вход сигнал з, прекращает работу. Некоторые результаты, полученные при изучении полных полигонов над полурешетками можно обобщить на случай частичных полигонов над полурешетками.
Предложение 1.16. Пусть X — частичный полигон над полурешет-кой Б. Положим
Тогда (X, <) — частично упорядоченное множество.
Доказательство. Рефлексивность отношения < очевидна. Пусть х <у и у < г. Тогда х = уЬ, у = гв при некоторых 6 Б1. Отсюда получаем: х = (гьД. Следовательно,существует произведение г(зЬ) и х — г(зТ)
х < у х = у или х = у в при некотором в € Б. (1-3)