О подгруппах и автоморфизмах свободных бернсайдовых групп

• Автор: Атабекян, Варужан Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 156 с.

Оглавление
Введение

1 Вложимость группы В(оо, п) в подгруппы группы В(2, п) при нечетных п > 1003

1.1 Нерегулярность бернсайдовых мноюобразнй 23,г

1.2 Отображение т и его свойства

1.3 Свойства т-слов

1.4 Переход от ранга а к рангу а +

1.5 Предложение

1.6 Вложимость группы В (ос, /?) в любую нециклическую подгруппу группы В(2,п) при нечетных » > 1003
2 Равномерная неаменабельность подгрупп свободных бернсайдовых групп нечетного периода п > 1003

2.1 Свободные порождающие в шарах фиксированного радиуса

2.2 Равномерная неаменабельность нециклических подгрупп группы В(т, п)
2.3 Независимые нары элементов группы В(т, п)
3 Наследственно факторизуемы подгруппы свободных бернсайдовых групп и «-периодических произведений С.И.Адяна
3.1 Определение наследственно факторизуемых подгрупп и их простейшие свойства
3.2 ЯФ-множнхели периодическою произведения
3.3 ЯФ-нложение фуипы В(оо. п) в группу В(2, п)
3.4 ЯФ-нодгрунны группы В(2,;?)
4 Свойства групп Адяна-Лысенка и их применение в исследовании свободных бернсайдовых групп
4.1 О простых периодических группах

4.2 Некоторые леммы о группах Адяна-Лысенка
4.3 Свойство (£/)
4.4 Условия min и тах для нормальных подгрупп групп В(т, п) при нечетных п > 1003
4.5 Теоремы об аппроксимации свободных берпсайдовых групп
4.0 Не ушггаризуелше подгруппы и факторгруппы групп В(т.п)
5 Нормализаторы свободных подгрупп свободных бернсайдовых
групп нечетного периода п > 1003
5.1 Гипотеза С. И. Адяпа
5.2 Построение неабелевой простой группы
5.3 Исследование коммутаторов специального вида
5.4 «Почти» квазинериодические слова
5.5 Доказательство основного предложения
5.6 Подтверждение гипотезы С.И.Адяна при нечетных п > 1003
6 Нормальные автоморфизмы свободных бернсайдовых групп
6.1 О нормальных автоморфизмах
6.2 Два класса простых групп
6.3 Базисные пары группы В(т,п) и их образы при М-нормальпых автоморфизмах
6.4 Совпадение подгрупп М-нормальных и внутренних автоморфизмов группы В(т.п)
6.5 Максимальность подгруппы 1пп(В(т., п)) среди всех подгрупп периода
п группы Avl(B(m. п))
6.6 О нормальных вложениях группы В(т. п)
Список литературы
Обозначения и сокращения

Введение
В диссертации исследуются свободные периодические группы нечетного периода, которые также называются свободными бернсайдовыми группами.
Свободная берцсайдова группа В(т, п) периода п и ранга т имеет следующее задание:
В(т, п) = <аьа2,
где X пробегает множество всех слов в алфавите {а*1, а*1, , Щ1}-
Группа В(т, п) есть факторгруппа свободной группы Рт ранга т по нормальной подгруппе порожденной всевозможными п-ми степенями элементов из Рт. Любая периодическая группа периода пет порождающими является факторгруппой группы В(т, п). В известной проблеме Бернсайда о периодических группах ставился вопрос: будет ли конечной всякая конечно порожденная группа, удовлетворяющая данному тождественному соотношению вида хп = 1 (см. [1])?
Проблема Бернсайда привлекала внимание выдающихся алгебраистов многих стран в силу естественности и максимальной простоты своей постановки.
Положительный ответ на вопрос Бернсайда до сих пор получен только для значений п < 4 и п = 6. Сам Бернсайд в статье [1] доказал конечность групп В(т,п) для любого числа порождающих т и п < 3, а также конечность В{2,4). В работе [2] И. Н. Санов доказал конечность при п = 4 для любых т. Наконец, в 1958 году Маршалл Холл в работе [3] доказал конечность для п = 6 и любых т.
В 1968 году П. С. Новиков и С. И. Адян в совместной работе [4] впервые опубликовали отрицательное решение проблемы Бернсайда. В этих статьях было доказано, что для любого нечетного периода п > 4381 и любого числа порождающих т > 1 свободная периодическая группа В(т,п) бесконечна.
В 1975 году вышла монография С. И. Адяна [5], в которой такой же результат был доказан для любых нечетных периодов п > 665 и любого числа порождающих т > 1. Так как свободная бернсайдова группа В(т,п) является факторгруппой групп В(т,пк) при любых к > 1, то из этого результата непосредственно вытекает бесконечность бернсайдовых групп В(т,п) для т > 1 и любых периодов, которые имеют нечетный делитель > 665.
Число п = 665 до сих пор остается наименьшим значением периода, для которого доказана бесконечность групп В(т,п). В частности, открыт вопрос о бесконечности группы В(2,5).

Лемма 1.48. Пусть Z - почти т(Х)-слово. Тогда т(Х) ~т(У) в том и только том случае, когда У ~ %1, где есть почти т(У)-слово тпого о/се типа, что и слово У. При этом, для всякого вхоо/сдепия V £ Прав(а,т(Х)) справедлива эквивалентность ¥ = /а(У; т(Х), г(У)) 44 p{yV,{*т(y)*)0,{*Zl*)°)
Доказательство. В силу определения [5, гл. I, §4, п. 30) достаточно рассматривать случай, когда V 6 Я (се, т(Х)) и переход т(Х) —> т(У) есть реальный поворот. Но тогда все следует из леммы 1.42. □
Лемма 1.49. Пусть У - почти г(Х)-слово, т(Х) £ 3£а и У € Прав(а,т(Х)). Тогда ВзНорм а{у, <р(У (*г(Х)*)°, (*У*)°)).
Доказательство. По лемме 1.44 имеем У6 Ма. Поскольку по определению Осн(<ДУ; (*т(Х)*)°, (*У*)°)) = Осн(У), то утверждение следует из леммы 1.48. □
1.4 Переход от ранга а к рангу а +
Следующие ниже леммы доказываются совместной индукцией по натуральному параметру а. Если в формулировке какой-либо леммы специально не указано неравенство а > 0, то считается, что а > 1.
Лемма 1.50. Слово X принадлежит Пер(а, А) тогда и только тогда, когда слово т(Х) принадлежит Пер(а + 1,т(А)). Более того, вхождение V есть опорное ядро ранга а — 1 слова X тогда и только тогда, когда вхождение т(У)° есть опорное ядро ранга а слова т(Х).
Доказательство. По лемме 1.80 имеем X £ 3%а-. 44 т(Х) £ Далее X £ Пер(Л) 44 т(Х) £ Пер(т(Л)) и V £ Внутр(Х, А) 44 т(У)° € Внутр(т(Х),т(Л)) (лемма 1.10). В силу лелшы 1.78 имеем V еЯ(а — 1,Х) 44 т(У)° еЯ(а,т(Х)). Очевидно, что д(Х) 27д(А) <4 д(т(Х)) 27д(т(А)), а если 5(Осн(У))< 2д(А), то<9(Осн(т(У))) < 2д(т(А)), следовательно <Э(Осн( т(У)°)) < 2д(т(А)). Из сказанного следует, что если X £ Пер(а, А), то т(Х) £ Пер(а+ 1 ,т(А)).
Теперь покажем, что если т(Х) £ Пер(а + 1, т(Д)), то X £ Пер(аг, А). Пусть т(У)° - опорное ядро ранга а слова т(Х) и д (Осн(т(У)°)) < 2д(т(А)). Тогда У -ядро ранга а — 1 слова X (лемма 1.78) и У е Внутр(Х, А) (лемма 1.10). Если т(У)° - активное ядро слова т(Х) € Пер(а + 1,т(Д)), то по [5, гл. II, §1, п. 11] имеем Э(Осн( т(У)°)) < д(т(А)). Поэтому
5(Осн(т(У))) < д(т(А)) + 2 < 2д(т(А)),