Некоторые теоретико-числовые методы приближенного анализа

• Автор: Добровольский, Михаил Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 с. : ил.

Оглавление
Указатель обозначений
Введение
§ 1. Общая характеристика работы
§ 2. Краткая история вопроса
§ 3. Содержание работы
§ 3.1. Оптимальные коэффициенты комбинированных сеток
§3.2. Функциональное уравнение для гиперболической
дзета-функции
§3.3. Квазиполные тригонометрические суммы
Глава 1. Оптимальные коэффициенты комбинированных сеток
§ 1. Оценки сумм по гиперболическому кресту
§ 2. Алгоритм последовательного вычисления оптимальных коэффициентов по простому модулю
§ 3. Алгоритм последовательного вычисления оптимальных коэффициентов по простому модулю для комбинированных
сеток
§4. Результаты численного эксперимента сравнения качества
сеток
Глава 2. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции
§ 1. Введение
§ 2. Тригонометрические суммы решеток
Оглавление
§3. Дзета-функция Гурвица
§ 4. Ряды Дирихле с периодическими коэффициентами
§ 5. Аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции целочисленной решетки
Глава 3. Квазиполные тригонометрические суммы
§ 1. Введение
§ 2. Случайные величины и квазиполные короткие кубические
тригонометрические суммы
§ 3. Дисперсия квазиполных коротких кубических тригонометрических сумм
§ 4. Асимптотическая формула для квазиполной
короткой кубической тригонометрической суммы
§ 5. О гипотезе Монтгомери относительно суммы Вейля
Литература
Приложение. Таблицы оптимальных коэффициентов
Указатель обозначений
В работе используются следующие стандартные обозначения:
N— множество натуральных чисел,
2 — множество целых чисел,
О— множество рациональных чисел,
К— множество действительных чисел,
К5 — 5-мерное вещественное арифметическое пространство,
2*— 5-мерная фундаментальная решетка (решетка всех целых точек в ).
Для любого множества А через Ав обозначается 5-ая декартова степень.
Фигурные скобки используются для задания множеств и для обозначения дробной части действительного числа или вектора.
Решетки обозначаются греческими буквами Л с различными индексами.
Для любого действительного числа х используется обозначение х — = тах(1, |ж|).
Глава 1. Оптимальные коэффициенты комбинированных сеток

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, при j = 1 это верно в силу (1.11). При j > 1 справедливо рекуррентное соотношение
дд>- ([^Д^]) ■
(1.16)
Из (1.11) и (1.16) следует, что
1 (•' ■ , _ ('.) »(О
(а — 1)

/ СЮ*-1 .^г(,^г-к(в^) Ск®
• • •< (а_ !),«-> +ДС(а) ) • (!-П)
Применяя леммы 1 и 2, получим:
+Ё с ДД+Е с <
^а-1 > (а-1)7“-
к=1 £=1 4 ’
' ^ ^ /^т1„тп+ 1—1 л/„Л7—1—Л ^
< _±_ ГГс(аУ~2-к Уу^ТОЬ?^
7а—1 I ^ ш! ' а — 1 т!
£=0 777 =0 /с=0 777=
1 /1~2 + 1~2 1~1 |гт1 1~1 >/ j_i_fc
= 1 /у, ь* у'с{ау-*-кСр + V ^ ^ГсгС(— ,
^и-1 I т| 21^ ^ к ^ то! Д а -
4771=0 &=т т=0 к—тп
1 / 1П1~Ч ^1пт
ГпТ + Е—-X
^-1 ^(а - 1ХД - 1)! ^ т!
х (е«“Г2-‘сгДД^+^)) (Ы8)
и лемма доказана. □
Теорема 12. Справедливо неравенство
2* / ЗчЛ*-
1^}|^ (дзт)141п*+~*) +1‘ (1л9)