Многообразие колец, порожденное полным матричным кольцом над кольцом Галуа

• Автор: Олексенко, Анна Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Барнаул
• Количество страниц: 98 с. : ил.

Содержание
Введение
1. Тождества полного матричного кольца второго порядка
над кольцом Галуа
1. Базис тождеств кольца М2(Сй(р2,п))
2. Тождества кольца М2(£гй(рт,«))
2. Решеточные свойства многообразия VагМ2((7.й(р2,ге))
3. Обобщения линейности и дуальность
4. Дистрибутивность и -ширина
5. Почти коммутативные нильпотентные многообразия колец
Литература

Введение
0.1. Обсуждение проблематики
Матричные кольца1 и их тождества - давно и интенсивно изучаемые объекты в теории Р1-колец, что отражено в обзоре [23] и в [26]. Их особую значимость осознали еще в сороковых годах с появлением результата И. Капланского о строении примитивных Р1-колец [28]. Каждое такое кольцо - это в точности кольцо матриц над телом, причем его размерность над центром ограничена степенью тождества, которому она удовлетворяет. Более того, не только примитивное, но и любое полуиервичное Р 1-кольцо Я вложимо в кольцо матриц Мг(К), где 2 зависит лишь от степени выполняемого тождества, а К - некоторое коммутативное кольцо с единицей. Таким образом, все тождества Мг(К) переносятся и на Я. Вообще, класс колец, представимых матрицами над коммутативным кольцом, достаточно широк, что говорит о необходимости изучения матричных многообразий.
Исторически первым направлением в исследовании матричных тождеств является построение и изучение однородных тождеств.
Одним из первых и наиболее важных в этом направлении результатов явилась теорема Амицура-Левицкого [21]. В ней было доказано, что в Мг(К), где К -коммутативное кольцо, выполняется стандартное тождество степени 22, то есть следующее:
(Здесь и далее через 5* мы обозначаем, симметрическую группу на множестве {1 Следующим существенным шагом стал результат Ю.П. Размыслова
[20], который сконструировал однородный центральный многочлен для кольца Мг(К) (К - поле характеристики 0), то есть полином /, не являющийся тождеством кольца Мг{К) и принимающий на нем лишь скалярные значения. Таким образом, в Мг(К) выполняется тождество [/, у] = 0.
13десь и далее в тексте, чтобы избежать разночтений, слово ’’кольцо” употребляется в одном смысле - "ассоциативное кольцо”, а слово алгебра всегда означает "ассоциативная алгебра над ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей".
а 632(
Если характеристика поля К положительна, то кольцо Мг(К) удовлетворяет тождеству следующего вида:
Причем в [9] доказано, что это происходит в том и только том случае, когда к > р1.
Достаточно большую группу среди известных полилинейных матричных тождеств составляют так называемые тождества Капелли. Это тождества вида
где а = <7i х ... х crs и sgn(а) = sgn(). В [24] и [27] доказано, что двойное (s = 2) тождество Капелли является тождеством кольца Mt(K) при к > 21.
Довольно универсальный способ построения полилинейных матричных тождеств предложили Е. Сигети, 3. Туза, Г. Ревес и М. Домокос в серии работ [25], [32], [33], развив идею применения ориентированных графов в теории многообразий матричных колец, принадлежащую Р. Свену [34].
В 70-х годах возникло еще одно направление в изучении матричных многообразий, связанное с нахождением базисов тождеств конкретных матричных колец, часто встречающихся в приложениях. Первые шаги в этой области сделаны Ю.Н. Мальцевым, нашедшим базис тождеств кольца At{K) верхнетреугольных матриц (см. [12]), и Ю.П. Размысловым, указавшим явный вид образующих идеала тождеств кольца М2(К) (см. [19]) (в обоих случаях К - поле характеристики 0).
Напомним, что кольцо Галуа GR(pm,n) (р - простое число) определяется как фактор-кольцо кольца многочленов Ършх) по идеалу (f(x)), где f(x) - многочлен степени п, неприводимый над GF(p). Р. Уилсон в работах [35], [36] доказал следующую теорему, усиливающую знаменитую теорему Веддерберна в случае конечных колец:
Теорема. Пусть R - конечное кольцо с единицей, charR = рт. Тогда R содержит подкольцо Q такое, что выполняются следующие условия:

V0 и )

Аналогично рассматривается случай 3.
Случай 4. Пусть х - порождающий элемент поля (?(рТО1) и а

К. Пусть с = (а — а9)(д2 1)р. Тогда с
. Тогда Ф5(а,6) =. [с, 6]
/ {х - х-1 О
у О О 0 0
— 0. Поэтому х = хч и
. Пусть, далее, Ь
ту делит п. Аналогично показывается, что тг делит п. Поэтому С(рт<) <
Предложение 1.6. Пусть К - алгебра над с единицей, Т ф (0) и Суммируя результаты предложений 1.4 - 1.6, получаем, что любое критическое кольцо К, степень нильпотентности радикала которого равна 2, лежит в
В следующих леммах 1.19 - 1.24 и предложениях 1.7 - 1.12 исследуются кольца К, степень нильпотентности радикала которых равна 3. При их описании активную роль играет лемма 1.14.
Лемма 1.19. Пусть К - кольцо с единицей и Т3 = рТ — (0), «Я ф (0). Тогда К = Сд+&Т, где (ф = 0£_1 Д» и при i — 1,к, А{ = ОК{р1тф, где < 2, гп{ делит п. При этом выполнено одно из следующих условий:
1. ф = Ау, N = еуМеу, е — б1
2. = Ау 0 Аг, (Щ — (еЛГбг 4- е-у), ./V2 = вуИеу, е = ву + е',
3. ( = Ау 0 А<1, N = еуМеу --_eyNe2) № = ОуЫеъ, е = еу + б2
и И < СУ.Р(д) (как композит полей С7Р(рт1), (7Я(рт2)).
Доказательство следует из лемм 1.8, 1.15 - 1.18.
многообразии А’п