Об арифметических свойствах значений некоторых аналитических функций

• Автор: Рочев, Игорь Петрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Обобщение теорем Гельфонда и Вальдшмидта о целых функциях

1.1. Основные результаты

1.2. Вспомогательные утверждения

1.3. Доказательство теоремы

1.4. Доказательство теоремы

1.5. Доказательство теоремы

Глава 2. Линейная независимость значений д-рядов

2.1. Основные результаты

2.2. Разностные операторы

2.3. Определение вспомогательных многочленов
2.4. Оценка |Р^(д, Д)|ш
2.5. Факторизация Уп I
2.6. Факторизация Уп II
2.7. Лемма о необнулении
2.8. Аппроксимационная лемма
2.9. Доказательства основных результатов
Литература

Введение
В работе рассматриваются две задачи об арифметических свойствах значений некоторых аналитических функций. Первая из них связана с оценкой снизу роста целой трансцендентной функции, которая вместе со своими производными вплоть до (в — 1)-го порядка принимает на заданном множестве значения из фиксированного конечного расширения поля рациональных чисел с определёнными ограничениями на знаменатели и размер значений. Вторая задача связана с исследованием линейной независимости значений одного (достаточно обширного) класса д-рядов. Соответственно, диссертация состоит из двух глав.
В главе 1 рассматривается обобщение теорем Гельфоида и Вальдшмидта, обобщающих теорему Пойа о целозначных целых функциях.
Для целой функции f{z) будем обозначать через /н максимум |/(г)| на круге Вк — {г Є С | г < Я}, |/|д = тахгЄВя /(г). В 1915 году Пойа [40] доказал следующий результат.
Пусть /(г) — целая трапецендептпая функция. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Если /(25>о) С 1л, то
Я-»4-оо
2. Если /(Z) С Ъ, то
Как показывают примеры 2г и Г — Г3 ^, постоянные
и в теореме Пойа нельзя улучшить.
Этот результат уточнялся и обобщался в работах Харди [26] (см. также [32]), Пойа [41], Карлсона [15], Фукасавы [21, 22], Ицуми [27], Сельберга [46], Пизо [37-39], Бака [9, 10], Робинсона [43].
Так, Фукасава рассматривал целые функции f(z) с условием /(£2) С Z для произвольного множества £2 С Z. Введём обозначения
£2д = £2 Г) Br,
ад = #Пд.
В частности, Фукасава показал, что если множество £2 С Z>o, то для любой целой трансцендентной функции f(z) с условием /(£2) С Z выполнено
lim sup In}n ^ liminf (0.1)
д^+оо ln R Д-++00 R
Стоит отметить, что используемые методы нашли приложения и в теории трансцендентных чисел, например в частичном решении знаменитой седьмой проблемы Гильберта о трансцендентности чисел аР при алгебраических а ф {0,1} и ß ^ Q (см. [67]); в частности, Гельфонд [23] доказал трансцендентность числа е% = i~2‘, которое впоследствии получило название постоянной Гельфонда. Более подробную информацию о различных обобщениях и аналогах теоремы Пойа и богатую библиографию можно найти в [42, 45, 58, 59].
В литературе часто встречается более слабая формулировка теоремы Пойа: если f(z) — целая трансцендентная функция с /(Z^o) Q 2, то
lim sup ln 2.
Л—оо И
В 1929 году Гельфонд [24] доказал следующее обобщение этой версии теоремы Пойа.
Пусть f(z) — целая трансцендентная функция такая, что для неко-

следовательно, при Я —> оо получаем
£(^+, Я) + Е(Я~, Я) >1^2 (^+(«) + П"(п)) - -т^-, + 0(1) >
п<Д П(-П +
^ + О„^00(1))п • - 1 + 0(1) = (о?« + о(1))1пД,
п<Д П(-та +
что противоречит (1.10) в силу (1.9). □
Для к е обозначим
2 + к — 1 _ г (г + 1)... [г + к — 1)
. . (г + к — 1
д»м = ( , )
Для ІУ Є й>о, к Є положим

А к,лг(-г) = Д^СгДДДгг), (1.11)
где д и г — соответственно частное и остаток при делении к на, N (то есть к = д-ТУ + г, 0 ^ г < Я). Кроме того, обозначим через О/у наименьшее общее кратное чисел 1,2,..., ТУ.
Лемма 1.7 (см. [61, лемма 4]). При т^Ъ, к, а 6 А" е Х>о имеем
Щ ■ ^АЦДт) е 2.
Кроме того, при г 6 С справедливо неравенство
Е(:)|даик^-(1+М)‘.

Следствие 1.1. 77рп А; Є А Є 2>о, і? ^ 0 имеем